域，域扩张

本节我们来介绍"域"这一个代数结构，“域”【一般用 $F$ 表示】是比前面的群 $G$ 和环 $R$ 性质更好的一种代数结构。

域：首先 $F$ 是一个集合，并且在它上面我们定义了加法 $“+”$ 和乘法 $“\cdot”$ 这两种代数运算，满足如下三条性质：
① $(F,+)$ 构成一个交换群。
② $(F^*,\cdot)$ 也构成一个交换群。其中 $F^* = F - \{0 \}$
③加法对乘法满足左右分配律，这时候我们就把 $F$ 称为是一个域。

注释：
(1):常见的域有有理数域 $\mathbb{Q}$ ，实数域 $\mathbb{R}$ 以及复数域 $\mathbb{C}$ 等等。
(2):有理数域是最小的域，也就是说，他的任何一个子集都不是数域，例如整数环 $\mathbb{Z}$ 就不能构成一个数域，比如它里面的元素 $2$ 在 $\mathbb{Z}$ 中就没有逆元。
(3)有限域 $\mathbb{F}_p = \{\overline{0},\overline{1}, \cdots, \overline{p-1}\}$ 其中 $p$ 为素数。
(4) $\mathbb{Q}(\sqrt2) = \{a + b \sqrt2| a,b \in \mathbb{Q}\}$ 也是一个域。

域的特征：对于一个域中的单位元 $1$ ，我们把满足 $n \cdot 1 = 0$ 的最小的正整数 $n$ 称为一个域的特征，记作 $char(F) = n$ 。如果说不存在这样的 $n$ 我们就称 $char(F)$ 是 $0$ 或者正无穷。

接下来我们来说明环的扩展和域的扩张。
①环的扩张：我们现在有环 $R$ 和 $\tilde{R}$ ,满足 $\tilde{R}$ 的一个子环 $\tilde{R}_1$ 和 $R$ 有相同的单位元，并且 $R \cong \tilde{R}_1$ ,我们这时候就说环 $\tilde{R}$ 是环 $R$ 的一个扩张，在这种情况下我们可以把 $R$ 视作 $\tilde{R}$ 的子环。

注意：我们这里 $R$ 和 $\tilde{R}_1$ 是指在同构意义下是等价的，而非完全相同。我们下面举几个扩环的例子。
①多项式环 $\mathbb{Z}[x]$ 是整数环 $\mathbb{Z}$ 的扩环。
②高斯整数环 $\mathbb{Z}[ i]$ 是整数环 $\mathbb{Z}$ 的扩环。
他们都是扩环，而不是扩域。

类似地，我们推出了域扩张的概念。
②域扩张，假设我们现在有域 $F$ 和 $K$ ，且 $F$ 和 $K$ 的一个子环 $K_1$ 环同构，我们就把 $K$ 称为是 $F$ 的一个扩域，记作 $K/F$ ，这时候我们可以把 $F$ 称为是 $F$ 的子域。

设 $K/F$ 是扩域[其中 $K$ 为扩域， $F$ 是子域]，我们如果把 $K$ 视为 $F$ 上面的向量空间，那么它的维数就称为我们域扩张 $F/K$ 的次数。记作 $[K:F]$ 。

如果维数有限，我们就称为有限次域扩张。
反之，如果维数无限，我就称为无限次域扩张。
例如 $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$ 是一个有限次域扩张。但是 $[\mathbb{R}:\mathbb{Q}]= \infty$ 是一个无限次域扩张。

接下来就有一个非常显然的问题了：就是我们如何去构造扩域呢。
比如我们之前看到的 $\mathbb{Q}(\sqrt2) = \{a + b\sqrt2 | a,b \in Q\}$ 他就相当于是有理数域加上一个 $\sqrt 2$ 生成的。
生成子环：我们现在有 $R$ 和一个元素 $\alpha \notin R$ 。我们把同时包含 $R$ 和 $\alpha$ 的最小的环，叫做 $\alpha$ 在 $R$ 上面的生成子环，记作 $R[\alpha]$ .

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