图像拉普拉斯算子原理--Apple的学习笔记

最近开始复习图像算法。1年前关于拉普拉斯算子一定是学过的。但是记不得了，当时应该是很快看完，死记硬背的，那么久没用，所以忘记了。那么作为第二轮学习，我需要做的是自己推导公式，并且能将数学转换到图像处理的原因弄清楚，这样才能深刻的记住原理，今后才能灵活应用。

一，图像拉普拉斯算子的来源

1. 所谓算子就是卷积核

图像中的卷积的应用可以理解为图像区域中的权重和。这个是基础就不说了。

2. 拉普拉斯3x3算子

0 1 0
1 -4 1
0 1 0

对应的3x3图像处理区域如下

x-1,y+1 x,y+1 x+1,y+1
x-1,y x,y x+1,y
x-1,y-1 x,y-1 x+1,y-1

3. 算子来源

它是x和y方向的向量和，是通过二元参数的二阶偏微分和和得来的。
\Delta^2f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)

拉普拉斯算子和图像区域的卷积正是上述公式。

4. 公式推导

导数公式知道，二阶偏导数公式也知道，为什么是这样的形式呢？原因它不是连续函数求导，而是离散点求导。
F'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
由于图像中每一点的最小单位\Delta x为1个像素。所以对一元函数的导数可以写为
F'(x)=f(x+1)-f(x)也可以写为F'(x)=f(x)-f(x-1)，图像处理一般用后者展开。

那么一阶导数会求了，一元函数的二阶导数呢？就是一阶导数的导数
F''(x)=f'(x+1)-f'(x)，展开如下
F''(x)=f(x+1+1)-f(x+1)-(f(x+1)-f(x))，整理得
F''(x)=f(x+2)-2f(x+1)+f(x)

也可以这样展开
F''(x)=f'(x)-f'(x-1)展开如下
F''(x)=f(x+1)-f(x)-(f(x)-f(x-1))，整理得
F''(x)=f(x+1)-2f(x)+f(x-1)

最后，针对二元函数进行扩展就是
F''(x，y)_x=f(x+1,y)-2f(x,y)+f(x-1,y)，对x求二阶偏导，全部添加非变量y即可。
同理F''(x，y)_y=f(x,y+1)-2f(x,y)+f(x,y-1)

那么F''(x，y)_x+F''(x，y)_y =f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)

至此数学公式推导完成。

二，图像拉普拉斯算子的应用

1. 应用公式

g(x, y) =f(x,y) +c[\Delta^2f(x, y)]

2. 图像中对应公式的含义理解

首先处理的是像素x和y的灰度，从公式可以看出是一种变换，变换的内容为原来的灰度值加上c倍的二阶偏导数的和。
接着把重点放到二阶偏导数的和代表x和y方向的偏导数的和。而导数是研究一种变化率，而偏导数是研究导数的变换率。若是边缘的话，变化率的值一定是很高的，代表相邻像素的差值。而二阶偏导数是一阶偏导数的导数。而拉普拉斯算子其实应用于图像锐化（就是突出边缘的意思）看下图，二阶函数处理后变成了边缘左边为1，边缘右边为-1，这样的情况下与原像素叠加后，边缘值左右两边变换差值更加明显，这样就可以突出边缘效果了。至少我目前是这么理解的


图像中的一阶和二阶导数.png
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