我们学习到两条直线在同一平面内会有两种状态，一种是相交，一种是平行。我们知道两条直线如果有一个共同交点那么就可以判断这两条直线是处于相交状态的。但是我们怎么判断两条直线是处于平行状态的呢？
首先看一个图片
这是一个三线八角图，我们可以看到这个图片是由三条在同一平面内的直线构成的，我们不知道当中的两条直线AB和CD是平行还是相交的状态，第三条直线EF截过这两条直线。形成了八个角。在这个三线八角图中有一些关系特别的角，我们给他进行个单独的命名。比如说∠4和∠8，我们可以看到他们都在EF的右半部分，并且都在AB和CD的下面。我们把这种位置相同的角称为同位角。像∠2和∠6，∠3和∠7等这类型的角都叫同位角。三线八角图中有四对同位角。接下来再看比如说∠4和∠6这种角，他们在三线八角图的内部，也就是AB下面和CD上面。但是不同的是∠4和∠6是错开的，并不在同一边，我们把这种在图形内部并且错开的角叫内错角。三线八角图中有两对内错角。∠4和∠6，∠3和∠5都是内错角。再看三线八角图中同在直线ab和CD以内的，还有两种不同的角，这两种角都在EF的左或者右边，在EF的同一边但是在两直线内的角，我们把这种角称作同旁内角。∠3和∠6，∠4和∠5都是同旁内角。一个三线八角图中有两对三线八角图。
那么现在回到本质的问题中，我们如何证明两条直线平行呢？根据我们已知的三种不同类型角，我们可以有三个猜测。第一个猜测是如果三线八角图中同位角相等，则这两条直线是平行。第二个猜测是当两条直线被第三条直线所截的时候，如果内错角相等，则这两条直线平行。第三个猜测是当两条直线被第三条直线所截的时候，如果同旁内角互补，则这两条直线平行。但是如果我们什么都不知道的话，我们肯定不能证明，所以我们现在要把第一条猜测当做已知的条件，也就是公理，去证明其他的猜测。
下面我们来开始推理。
我们已知的是两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，则这两条直线平行。∠4＝∠6。
我们现在要用这条公理去证明同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则这两条直线平行。我们现在要做的就是把未知变成已知，就是通过已知的信息推理出内错角相等的图形同位角也平行，就可以证明出两直线平行了。现在我们可以看到∠4和∠6是内错角，并且相等。而∠6和∠8是对顶角，这样就说明∠6和∠8是相等的。而我们的已知条件是∠4和∠6是相等的，现在又通过推理得知∠6和∠8也是相等的，我们就可以得知∠4和∠8也是相等的，这个过程叫做等量代换。在途中我也可以看到角四和角八是同位角，而既然他们又是同位角又相等的话，我们就可以得到AB和CD是平行的。
这样我们就通过已知的公理得到了一个新的定理就是当两条直线被第三条直线所截的时候，如果内错角相等，这两条直线平行。
下面我们要用已知的定理再推理出，当两条直线被第三条直线所截的时候，如果同旁内角互补，则这两条直线平行。我们现在已知的是，∠3➕∠6＝180°。除此之外，我们还可以根据EF是一条直线得知，∠6+∠5=180度。而我们已经已知∠6+∠3等180度，所以现在我们可以根据等量代换得知，∠3＝∠5。在图中我们可以看到∠3和∠5也是同位角，它们是同位角而且相等，所以呢我们可以得知，直线AB和CD平行。
现在我们已经可以通过已知的定理推测出了两条新的定理。第一条是两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等时，则这两条直线平行。第二条是两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行。
那么接下来我有一个问题，我们可不可以以第二条定理或者第三条定理为起点，推测出剩下的两条定理呢？我举一个例子，我们已知的公理是当两条直线被第三条直线所截，内错角相等的时候，两条直线平行。我们要根据这条已知的公理来推测出剩下的两条定理，也就是同位角相等时两直线平行和同旁内角相等时，两直线平行。
