統計學(Statistical)重點整理-4

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台灣交通大學 統計學(一) Statistics I 唐麗英老師

[統計學筆記及整理]



第六章 雙變量機率函數(Bivariate Probability Distributions)

離散型與連續型雙變量機率函數(Bivariate Probability Distributions for Discrete & Continuous Random Variables)

  • 雙變量概率分佈(Bivariate Probability Distributions)

  • Def:隨機向量
    假設𝐒是與實驗相關的樣本空間。
    令𝐗=𝐗(ω)和𝐘=𝐘(ω)是兩個函數,每個函數為𝐒的每個點ω分配一個實數。
    然後(𝐗,𝐘)被稱為二維隨機向量(或者我們說𝐗,𝐘是聯合分佈的隨機變量)。

  • 備註
    如果𝐗𝟏=𝐗𝟏(ω),𝐗𝟐=𝐗𝟐(ω),...,𝐗𝐧=𝐗𝐧(ω)是n個函數,每個函數為每個結果分配一個實數,我們稱(𝐗𝟏,𝐗𝟐,...,𝐗𝐧)為n- 維隨機向量(或者我們說𝐗𝟏,𝐗𝟐,...,𝐗𝐧是聯合分佈的隨機變量)。

  • Def:"離散"隨機變量的聯合概率質量函數
    假設X和Y是在相同概率空間上定義的離散隨機變量,並且它們分別取值x1,x2,...和y1,y2,....

  • 它們的聯合概率質量函數𝐏(𝐗,𝐘)是

  • 聯合概率質量函數必須滿足以下條件:

  • 如何找到"離散"X和Y的聯合概率質量函數?
    構建一個表,列出R.V.的每個值。 𝐗和𝐘可以假設。然後找到p(𝐱,𝐲)的每個組合的P(𝐱,𝐲)。

  • 例1:投擲一枚公平的硬幣3次。 設𝐗是第一次投擲時的頭數和𝐘三次投擲所觀察到的頭部總數。(𝐗,𝐘)的聯合概率質量函數是多少?

    有時我們只對X或Y的概率質量函數感興趣。
    例如,在例1中,
    一般來說,邊際函數可以通過以下方式找到

  • 如何從表中找到邊際概率函數?
    1)要找到PY(y),,請總結表格的相應列。
    2)要找到PX(x),請在表格的相應行中求和。

  • 注意
    由於PY(y)和PX(x)位於行和列“邊距”中,因此這些分佈稱為邊際概率函數。

  • 例2:在例1中,找到X和Y的邊際概率函數

  • Def:連續隨機變量的聯合概率密度函數
    假設𝐗和𝐘是聯合分佈的連續隨機變量。
    它們的聯合密度函數是兩個變量f(x,y)的分段連續函數,這樣對於任何“合理的”二維集合A

  • 聯合概率密度函數必須滿足以下條件

  • X和Y的邊際密度函數是

  • 注意
    在離散情形中,邊際質量函數是通過將聯合概率質量函數與另一個變量相加得到的; 在連續的情況下,它是通過整合發現的。

  • 例3:假設(X,Y)是具有以下聯合密度函數的二維連續隨機向量

    a)找到c。
    b)找到X和Y的邊際密度函數。

  • 例4:

a)f_X\left(x\right)=\int_{all\ y}^{ }=(將y全部積分起來),再將x全部積分起來會等於1:
\int_0^1\left(2-2x\right)\cdot dx=2x-x^2\bigg|^1_0=2-1=1
2-2x的x可以介於0~1之間
b)f_Y\left(y\right)=\int_{all\ x}^{ }=(將x全部積分起來),再將y全部積分起來會等於1:
\int_0^1\left(2y\right)\cdot dy=y^2\bigg|^1_0=1
y^2的y可以介於0~1之間

  • 例5:假設聯合p.d.f. X和Y的規定如下:

  • 例6:X和Y的密度函數由下式給出


  • 雙變量機率函數之期望值與共變異數(The Expected values and Covariance for Jointly Distribution Random Variables)

\frac{ Σ(x^i - x_{avg})(y^i - y_{avg}) }{n-1} ,(x=x^1,x^2,x^3....x^i;y=y^1,y^2,y^3,...y^i)

  • 回想:隨機變量的預期值
  • 備註:一般情況
  • 定理:如果X和Y是獨立的,那麼

    但成立,並不一定代表變數為獨立,但獨立此式一定成立。

  • 回想:

  • Def:任何兩個變量X和Y的協方差 (共變異數)
    方差(變異數)就是協方差的一個特例(cov(X,X)=E(X-μ)^2=σ^2)

  • 例1:顯示Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)

  • 定理: 如果X和Y是獨立的,則Cov(X,Y)= 0

  • 問題: 如果Cov(X,Y)= 0,X,Y是獨立的? 沒有!!XY不相關,但不一定獨立。

  • 備註: 如果Cov(X,Y)= 0,則X和Y可能不是獨立的。

  • 例2 :(反例)

  • 設X,Y為離散隨機變量,P(X = x,Y = y)如下:

  • 雙變量機率函數之獨立性與相關性(Independence and Conditional Distributions)

  • Def:獨立隨機變量
    當且僅當,P(X∈A,Y∈B)= P(X∈A)‧P(Y∈B)時,X和Y是獨立的隨機變量

  • 定理
    當且僅當F_{XY}\left(X,Y\right)=F_X\left(X\right)\cdot F_Y\left(Y\right)時,X和Y是獨立的隨機變量

  • 推論
    1)如果X和Y是獨立的離散隨機變量,那麼P(X = x,Y = y)= P(X = x)‧P(Y = y)= P_X(x)‧P_Y(y)
    2)如果X和Y是獨立的連續隨機變量,那麼f(x,y) = f_X(x)‧f_Y(y)

  • 例1:

    X和Y是否獨立?

  • 例2:設X和Y為連續隨機變量

  • 例3:設X和Y為連續隨機變量
  • 條件分配
  • 例4:設X,Y是離散隨機變量,P(X = x,Y = y)如下,找到給定Y = 1的X的條件概率函數。

  • 例5:X和Y的密度函數由下式給出

  • 注意:f(y|x)表示x已確定為常數。

  • 雙變量機率函數之共變異數與相係數(Covariance and Correlation)

兩個隨機變量之間的兩種關聯度量:

  1. 協方差(Covariance)
  1. 相關(Correlation)
  • 例1:依賴,但不相關的隨機變量
    假設隨機變量X只能取三個值-1,0和1,並且這三個值中的每一個具有相同的概率。 另外,設Y = X^2
    a)找到COV(X,Y)
    b)X和Y是否獨立?

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