課程連結:
台灣交通大學 統計學(一) Statistics I 唐麗英老師
[統計學筆記及整理]
第六章 雙變量機率函數(Bivariate Probability Distributions)
離散型與連續型雙變量機率函數(Bivariate Probability Distributions for Discrete & Continuous Random Variables)
-
雙變量概率分佈(Bivariate Probability Distributions)
Def：隨機向量
假設𝐒是與實驗相關的樣本空間。
令𝐗=𝐗（ω）和𝐘=𝐘（ω）是兩個函數，每個函數為𝐒的每個點ω分配一個實數。
然後（𝐗，𝐘）被稱為二維隨機向量（或者我們說𝐗，𝐘是聯合分佈的隨機變量）。備註
如果𝐗𝟏=𝐗𝟏（ω），𝐗𝟐=𝐗𝟐（ω），...，𝐗𝐧=𝐗𝐧（ω）是n個函數，每個函數為每個結果分配一個實數，我們稱（𝐗𝟏，𝐗𝟐，...，𝐗𝐧）為n- 維隨機向量（或者我們說𝐗𝟏，𝐗𝟐，...，𝐗𝐧是聯合分佈的隨機變量）。Def："離散"隨機變量的聯合概率質量函數
假設X和Y是在相同概率空間上定義的離散隨機變量，並且它們分別取值x1，x2，...和y1，y2，....-
它們的聯合概率質量函數𝐏（𝐗，𝐘）是
-
聯合概率質量函數必須滿足以下條件：
如何找到"離散"X和Y的聯合概率質量函數？
構建一個表，列出R.V.的每個值。 𝐗和𝐘可以假設。然後找到p（𝐱，𝐲）的每個組合的P（𝐱，𝐲）。-
例1：投擲一枚公平的硬幣3次。 設𝐗是第一次投擲時的頭數和𝐘三次投擲所觀察到的頭部總數。（𝐗，𝐘）的聯合概率質量函數是多少？
有時我們只對X或Y的概率質量函數感興趣。
例如，在例1中，
一般來說，邊際函數可以通過以下方式找到
如何從表中找到邊際概率函數？
1）要找到PY(y),，請總結表格的相應列。
2）要找到PX(x)，請在表格的相應行中求和。注意
由於PY(y)和PX(x)位於行和列“邊距”中，因此這些分佈稱為邊際概率函數。-
例2：在例1中，找到X和Y的邊際概率函數
-
Def：連續隨機變量的聯合概率密度函數
假設𝐗和𝐘是聯合分佈的連續隨機變量。
它們的聯合密度函數是兩個變量f（x，y）的分段連續函數，這樣對於任何“合理的”二維集合A
-
聯合概率密度函數必須滿足以下條件
-
X和Y的邊際密度函數是
注意
在離散情形中，邊際質量函數是通過將聯合概率質量函數與另一個變量相加得到的; 在連續的情況下，它是通過整合發現的。-
例3：假設（X，Y）是具有以下聯合密度函數的二維連續隨機向量
a）找到c。
b）找到X和Y的邊際密度函數。
-
例4：
a)
(將y全部積分起來)，再將x全部積分起來會等於1:
因的x可以介於0~1之間
b)(將x全部積分起來)，再將y全部積分起來會等於1:
因的y可以介於0~1之間
-
例5：假設聯合p.d.f. X和Y的規定如下：
-
例6：X和Y的密度函數由下式給出
-
雙變量機率函數之期望值與共變異數(The Expected values and Covariance for Jointly Distribution Random Variables)
- 回想：隨機變量的預期值
- 備註：一般情況
-
定理：如果X和Y是獨立的，那麼
但成立，並不一定代表變數為獨立，但獨立此式一定成立。 -
回想:
-
Def：任何兩個變量X和Y的協方差 (共變異數)
方差(變異數)就是協方差的一個特例
-
例1：顯示Cov（X，Y）= E（XY）-E（X）E（Y）
定理: 如果X和Y是獨立的，則Cov（X，Y）= 0
問題: 如果Cov（X，Y）= 0，X，Y是獨立的？ 沒有！！XY不相關，但不一定獨立。
備註: 如果Cov（X，Y）= 0，則X和Y可能不是獨立的。
例2 :(反例）
-
設X，Y為離散隨機變量，P（X = x，Y = y）如下：
-
雙變量機率函數之獨立性與相關性(Independence and Conditional Distributions)
Def：獨立隨機變量
當且僅當，P(X∈A，Y∈B)= P(X∈A)‧P(Y∈B)時，X和Y是獨立的隨機變量定理
當且僅當時，X和Y是獨立的隨機變量
推論
1）如果X和Y是獨立的離散隨機變量，那麼P(X = x，Y = y)= P(X = x)‧P(Y = y)=
2）如果X和Y是獨立的連續隨機變量，那麼f(x，y) =-
例1：
X和Y是否獨立？
-
例2：設X和Y為連續隨機變量
- 例3：設X和Y為連續隨機變量
- 條件分配
-
例4：設X，Y是離散隨機變量，P（X = x，Y = y）如下，找到給定Y = 1的X的條件概率函數。
-
例5：X和Y的密度函數由下式給出
注意:f(y|x)表示x已確定為常數。
-
雙變量機率函數之共變異數與相係數(Covariance and Correlation)
兩個隨機變量之間的兩種關聯度量：
- 協方差(Covariance)
- 相關(Correlation)
- 例1：依賴，但不相關的隨機變量
假設隨機變量X只能取三個值-1,0和1，並且這三個值中的每一個具有相同的概率。 另外，設。
a）找到COV（X，Y）
b）X和Y是否獨立？
