什么是投影矩阵的逆矩阵呢？从几何意义上来讲，就是把投影到NDC的坐标转化为观察空间下的坐标。
假设y方向的视域角
，视域的宽高比为
，投影平面距离摄像机的距离为
，视域的宽为
，高为
，近剪裁面距离摄像机的距离为
，远剪裁面距离摄像机的距离为
。首先有：
假设任一点
，投影后的坐标为)
，观察空间下的坐标为)
，那么有：
这里，分别给
和
乘以和是因为NDC的坐标是归一化过的，要先还原到![[-w, w]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5B-w%2C%20w%5D)
和![[-h, h]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5B-h%2C%20h%5D)
的取值范围。
综合上式，求出
和
：
x)
y)
注意到上述求得的和里的分母中均包含
，为了用矩阵形式来表达逆投影变换，必须要借助齐次坐标，对)
各除以,即转换为)
。 有：
![[x, y, z, 1] \cdot \begin{bmatrix} rtan\dfrac{\alpha}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & tan\dfrac{\alpha}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & A \\ 0 & 0 & 1 & B \end{bmatrix} = [\dfrac{x'}{z'}, \dfrac{y'}{z'}, 1, Az+ B]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Bx%2C%20y%2C%20z%2C%201%5D%20%5Ccdot%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20rtan%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%20tan%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%200%20%26%20A%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%201%20%26%20B%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%3D%20%5B%5Cdfrac%7Bx'%7D%7Bz'%7D%2C%20%5Cdfrac%7By'%7D%7Bz'%7D%2C%201%2C%20Az%2B%20B%5D)
由投影变换可知，
可以写成：
由此可知，解得
：
也就有：
最终得到投影矩阵的逆矩阵为：
