投影矩阵求逆

什么是投影矩阵的逆矩阵呢？从几何意义上来讲，就是把投影到NDC的坐标转化为观察空间下的坐标。

假设y方向的视域角 $\alpha$ ，视域的宽高比为 $r$ ，投影平面距离摄像机的距离为 $d$ ，视域的宽为 $w$ ，高为 $h$ ，近剪裁面距离摄像机的距离为 $n$ ，远剪裁面距离摄像机的距离为 $f$ 。首先有：
$r= \frac{w}{h}$

$tan\frac{\alpha}{2} = \frac{h}{d}$

假设任一点 $P$ ，投影后的坐标为 $(x, y, z)$ ，观察空间下的坐标为 $(x', y', z')$ ，那么有：
$\dfrac{x'}{wx} = \dfrac{z'}{d}$

$\dfrac{y'}{hy} = \dfrac{z'}{d}$

这里，分别给 $x$ 和 $y$ 乘以 $w$ 和 $h$ 是因为NDC的坐标是归一化过的，要先还原到 $[-w, w]$ 和 $[-h, h]$ 的取值范围。

综合上式，求出 $x'$ 和 $y'$ ：
$x' = \dfrac{z'wx}{d} = z'rtan(\dfrac{\alpha}{2})x$

$y' = \dfrac{z'hy}{d} = z'tan(\dfrac{\alpha}{2})y$

注意到上述求得的 $x'$ 和 $y'$ 里的分母中均包含 $z'$ ，为了用矩阵形式来表达逆投影变换，必须要借助齐次坐标，对 $(x',y',z',1)$ 各除以 $z'$ ,即转换为 $(\dfrac{x'}{z'}, \dfrac{y'}{z'}, 1, \dfrac{1}{z'})$ 。有：
$[x, y, z, 1] \cdot \begin{bmatrix} rtan\dfrac{\alpha}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & tan\dfrac{\alpha}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & A \\ 0 & 0 & 1 & B \end{bmatrix} = [\dfrac{x'}{z'}, \dfrac{y'}{z'}, 1, Az+ B]$
由投影变换可知， $z$ 可以写成：
$z = \dfrac{\dfrac{f}{f - n}z' + \dfrac{nf}{n - f}}{z'}$
由此可知，解得 $\dfrac{1}{z'}$ ：
$\dfrac{1}{z'} = \dfrac{n - f}{nf}z + \dfrac{1}{n}$
也就有：
$\begin{cases} A = \dfrac{n - f}{nf} \\ B = \dfrac{1}{n} \end{cases}$
最终得到投影矩阵的逆矩阵为：
$\begin{bmatrix} rtan\dfrac{\alpha}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & tan\dfrac{\alpha}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{n - f}{nf} \\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{1}{n} \end{bmatrix}$