多体note

Chapter1 Introductory

最近再看Mahan的多体，有一些心得体会，记下来。
首先讲二次量子化，我们为什么要做二次量子化，直接求解薛定谔方程不够吗？我觉得主要是出于简化计算考虑，实际上即使不做二次量子化我们同样可以对角化求本征值，但是我们要面对大量的求和积分，中间会出现很多
$\sum_\lambda \int d^3r \phi_\lambda^*(r)H\phi_\lambda(r) = 1$
的积分，写起来很繁琐，而且薛定谔方程是一个二阶偏微分方程，方程的解肯定是在希尔伯特空间中进行展开，二次量子化本质上相当于先建立一个坐标系，上面那个积分就像是基矢坐标之间的乘法，建立坐标系之后，我们不需要在大量重复的计算这些积分，只需要计算系数之间的关系就行了，而且由于薛定谔方程的解空间之间可以差一个幺正变换，这样引入二次量子化之后进行也方便进行算符的幺正变换。我理解二次量子化的困难一直纠结在

我们为什么要进行二次量子化？

这样直接省略这么多严格吗？

在正则量子化里边我们给出的对易关系
$[\psi(r,t), \psi(r',t)] = 0$
$[\psi^\dagger(r,t), \psi^\dagger(r',t)] = 0$
$[\psi(r,t), \psi^\dagger(r',t)] = \delta(r-r')$
t都是相同的，那如果t不同，这个对易关系对应的结果是什么？
$[\psi(r,t), \psi(r',t‘)] = ?$
实际上这就是多体物理中格林函数要解决的问题了(The commutator at different times is related to the retarded Green' function, the commutator at different times is one property of the time dependent of the many-body system)
书中从一维简谐振子引入二次量子化，先从哈密顿量出发写出算符表达式，然后建立对易关系以及真空态等信息。可以看出由哈密顿量出发根据对易关系就可以建立起一整套二次量子化的体系。
虽然简化了问题，但是对于存在多个粒子相互作用的哈密顿量，
$H = \sum_{\rho \sigma} \varepsilon c^\dagger_{\rho \sigma} c_{\rho \sigma} +\sum_q U(q)\rho_q +\frac {1}{2\nu} \sum_{qkk'\sigma\sigma'}\nu_q c^\dagger_{k+q \sigma} c^\dagger_{k'-q \sigma'} c_{k' \sigma'} c_{k \sigma}$
我们依然无法精确求解。这个时候为了求解多体相互作用，人们提出了凝胶模型和紧束缚近似。凝胶模型最关键的地方在于把电子之间的库伦相互租用项的发散项扔掉了，扔掉的方法就是认为正电荷是均匀分布在整个空间里，从而抵消发散项。剩下的相互作用就可以对角化进行处理了。
紧束缚模型中
$H = \sum_j\delta\sigma W_\delta c^ \dagger_{j+\delta,\sigma} c_{j\sigma}$
$W_\delta = \int d^3r \phi^*(r-R_j)[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(r)]\phi(r-R_{j+\delta})$
这里也可以看出，实际上二次量子化是通过参数化的方式省略繁琐的细节抓住物理实质，是一个精妙的工具。这里由于势场U(r)是周期性的，所以将哈密顿量变换到倒空间。

Chapter2 Zero Temperature Green's Fuction

首先说一下为什么要引入格林函数方法。上一章已经讲了一些可以精确求解的模型，比如谐振子模型啦，凝胶模型啦，紧束缚模型。
但是我们依然有大量的模型无法精确求解，尤其是涉及多个粒子相互作用，比如电声耦合就无法直接对模型进行精确求解，但是这些模型是建立在已经可以精确求解的模型之上，比如电声耦合模型是建立在自由电子气模型之上。
这个时候就可以通过引入相互作用表象，来进行处理。
相互作用表象又称为Pauli表象或者Dirac表象。量子力学课上讲到这三个表象我没在意，因为觉得实质也是一样的，现在看来真是大大的疏忽，包括在高量课上又讲了一遍我依然没有重视，现在才发现理解相互作用表象是如此重要，因为所有的多体理论以及格林函数的处理方法其实都是以相互作用表象为起点的。
首先Hamiltian分为两部分
$H=H_0+V$
前面的部分是定态的，可以精确求解，解出波函数为 $\psi(0)$
然后波函数表示为 $| \psi (t) >= e^{iH_0t}e^{-iHt}| \psi(0)>$
对波函数求导可得 $\frac{\partial }{\partial t} \psi (t) = -iV(t) \psi (t)$
$\psi (t)$ 和 $\psi (0)$ 之间差了一个演化算符 $U(t) = e^{iH_0t}e^{-iHt}$ ，对演化算符求导发现
$\frac{\partial }{\partial t} U (t) = -iV(t) U (t)$
相互作用表象中算符表示为 $A(t) = e^{iH_0t}A(0)e^{-iH_0t}$
与海森堡表象中是一样的，对算符求导可得
$\frac{\partial }{\partial t} A (t) = -[H_0,A(t)]$
由于演化算符是含时的，所以要对 $\psi (t)$ 进行求解，需要对 $U(t)$ 进行自冾迭代求解，
$U(t) = 1-i \int_0^t dt_1 \int_0^{t_1} dt_2 ... \int_0^{t_{n-1}}dt_n V(t_1)V(t_2)...V(t_n)$
然后引入编时算符。

最后编辑于：2019.03.17 22:16:19

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