统计功效计算公式

背景知识

Z检验基础知识

  1. Z检验也叫做U检验，一般用于比较样本平均值差异性。它是用标准正态分布的理论来推断差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著；
  2. 比较平均值是否存在差异，包括一组数据与某数值的差异性或两组数据的平均值差异性，Z检验通常要求样本量比较大(n >30)；

Z检验步骤

  1. 建立假设，即先假定两个平均数之间没有显著差异，
  2. 计算统计量Z值，对于不同类型的问题选用不同的统计量计算方法：

  • 检验一个样本平均数（ \overline {X}）与一个已知的总体平均数(\mu_{0})的差异是否显著。其Z值计算公式为： Z=\frac{\overline {X}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}}
    其中：
    \overline {X}是检验样本的平均数，
    \mu_{0}是已知总体的平均数，S 是样本的标准差，n是样本容量。

  • 检验两组样本平均数的差异性，从而判断它们各自代表的总体的差异是否显著。其Z值计算公式为：
    Z=\frac{\overline {X_{1}}-\overline {X_{2}}}{\sqrt{\frac{S_{1}}{n_{1}}+\frac{S_{2}}{n_{2}}}}

  1. 比较计算所得Z值与理论Z值，推断发生的概率，依据 Z 值与差异显著性关系表作出判断。如下表所示：
统计量Z值 P值 差异程度
大于等于2.58 小于等于0.01 非常显著
大于等于1.96 小于等于0.05 显著
小于1.96 大于0.05 不显著

统计功效公式推导

原假设与备择假设

H_0:\mu_A=\mu_B \\ H_1:\mu_A \ne\mu_B\tag{1}

推导过程

假设\sigma_A=\sigma_B=\sigma，令\delta=\mu_A-\mu_B，则根据第二类错误的定义：
\begin{align} \beta&=P(接受H_0|H_0为假)\\ &=P(-z_{1-\alpha/2}\le \frac{\overline X_A-\overline X_B}{\sigma/\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}}\le z_{1-\alpha/2}|\delta \ne 0)\\ &=P(-z_{1-\alpha/2}-\frac{\delta}{\sigma/\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}}\le \frac{(\overline X_A-\overline X_B)-\delta}{\sigma/\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}} \le z_{1-\alpha/2}-\frac{\delta}{\sigma/\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}}|\delta \ne0)\\ &=\phi(z_{1-\alpha/2}-\frac{\delta}{\sigma/\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}}))-\phi(-z_{1-\alpha/2}-\frac{\delta}{\sigma/\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}})) \tag{2} \end{align}

注意，由于H_0为假，也就是\mu_A \ne \mu_B；\frac{\overline X_A-\overline X_B}{\sigma/\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}} 不服从标准正态分布，需要转化为\frac{(\overline X_A-\overline X_B)-\delta}{\sigma/\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}}才服从标准正态分布;

令\quad z=\frac{\mu_A-\mu_B}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}},由统计功效与二类错误的关系，得到统计功效的计算公式：
power=1-\beta= \Phi\left(z-z_{1-\alpha/2}\right)+\Phi\left(-z-z_{1-\alpha/2}\right) \quad

参考资料

  1. http://powerandsamplesize.com/Calculators/Compare-2-Means/2-Sample-Equality
  2. https://zhuanlan.zhihu.com/p/102308071
最后编辑于 ：
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
【社区内容提示】社区部分内容疑似由AI辅助生成，浏览时请结合常识与多方信息审慎甄别。
平台声明：文章内容（如有图片或视频亦包括在内）由作者上传并发布，文章内容仅代表作者本人观点，简书系信息发布平台，仅提供信息存储服务。

相关阅读更多精彩内容

友情链接更多精彩内容