二分查找时间复杂度是O(logn)。

二分查找的核心思想理解起来非常简单，有点类似分治思想。即每次都通过跟区间中的中间元素对比，将待查找的区间缩小为一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为0。但是二分查找的代码实现比较容易写错。你需要着重掌握它的三个容易出错的地方:循环退出条件、mid的取值，low和high的更新。二分查找虽然性能比较优秀，但应用场景也比较有限。底层必须依赖数组，并且还要求数据是有序的。对于较小规模的数据查找，我们直接使用顺序遍历就可以了，二分查找的优势并不明显。二分查找更适合处理静态数据，也就是没有频繁的数据插入、删除操作

最简单的情况就是有序数组中不存在重复元素，我们在其中用二分查找值等于给定值的数据。我用 Java代码实现了一个最简单的二分查找算法。

public int bsearch(int[] a, int n, int value) { int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = (low + high) / 2; if (a[mid] == value) {
return mid;
} else if (a[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else {
high = mid - 1; }
}
return -1; }

image.png

变体一:

查找第一个值等于给定值的元素上一节中的二分查找是最简单的一种，即有序数据集合中不存在重复的数据，我们在其中查找值等于某个给定值的数据。如果我们将这个问题稍微修改下，有序数据集合中存在重复的数据，我们希望找到第一个值等于给定值的数据，这样之前的二分查找代码还能继续工作吗? 比如下面这样一个有序数组，其中，a[5]，a[6]，a[7]的值都等于8，是重复的数据。我们希望查找第一个等于8的数据，也就是下标是5的元素。
如果我们用上一节课讲的二分查找的代码实现，首先拿8与区间的中间值a[4]比较，8比6大，于是在下标5到9之间继续查找。下标5和9的中间位置是下标7，a[7]正好等于8，所以代码就返回了。尽管a[7]也等于8，但它并不是我们想要找的第一个等于8的元素，因为第一个值等于8的元素是数组下标为5的元素。我们上一节讲的二分查找代码就无法处理这种情况了。所以，针对这个变形问题，我们可以稍微改造一下上一节的代码。 100个人写二分查找就会有100种写法。网上有很多关于变形二分查找的实现方法，有很多写得非常简洁，比如下面这个写法。但是，尽管简洁，理解起来却非常烧脑，也很容易写错。

public int bsearch(int[] a, int n, int value) { int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1); if (a[mid] >= value) {
high = mid - 1; } else {
low = mid + 1; }
}
if (low < n && a[low]==value) return low;
else return -1; }

看完这个实现之后，你是不是觉得很不好理解?如果你只是死记硬背这个写法，我敢保证，过不了几天，你就会全都忘光，再让你写，90%的可能会写错。所以，我换了一种实现方法，你看看是不是更容易理解呢?

public int bsearch(int[] a, int n, int value) { int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
intmid= low+((high-low)>>1); if (a[mid] > value) {
high = mid - 1;
} else if (a[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else {
if ((mid == 0) || (a[mid - 1] != value)) return mid;
else high = mid - 1; }
}
return -1; }

我来稍微解释一下这段代码。a[mid]跟要查找的value的大小关系有三种情况:大于、小于、等于。对于a[mid]>value的情况，我们需要更新high= mid-1;对于a[mid]<value的情况，我们需要更新 low=mid+1。这两点都很好理解。那当a[mid]=value的时候应该如何处理呢? 如果我们查找的是任意一个值等于给定值的元素，当a[mid]等于要查找的值时，a[mid]就是我们要找的元素。但是，如果我们求解的是第一个值等于给定值的元素，当a[mid]等于要查找的值时，我们就需要确认一下这个a[mid]是不是第一个值等于给定值的元素。我们重点看第11行代码。如果mid等于0，那这个元素已经是数组的第一个元素，那它肯定是我们要找的;如果mid不等于0，但a[mid]的前一个元素a[mid-1]不等于value，那也说明a[mid]就是我们要找的第一个值等于给定值的元素。如果经过检查之后发现a[mid]前面的一个元素a[mid-1]也等于value，那说明此时的a[mid]肯定不是我们要查找的第一个值等于给定值的元素。那我们就更新high=mid-1，因为要找的元素肯定出现在 [low, mid-1]之间。对比上面的两段代码，是不是下面那种更好理解?实际上，很多人都觉得变形的二分查找很难写，主要原因是太追求第一种那样完美、简洁的写法。而对于我们做工程开发的人来说，代码易读懂、没Bug，其实更重要，所以我觉得第二种写法更好。

变体二:

查找最后一个值等于给定值的元素前面的问题是查找第一个值等于给定值的元素，我现在把问题稍微改一下，查找最后一个值等于给定值的元素，又该如何做呢? 如果你掌握了前面的写法，那这个问题你应该很轻松就能解决。你可以先试着实现一下，然后跟我写的对比一下。

public int bsearch(int[] a, int n, int value) { int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
intmid= low+((high-low)>>1); if (a[mid] > value) {
high = mid - 1;
} else if (a[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else {
if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] != value)) return mid;
else low = mid + 1; }
}
return -1; }

我们还是重点看第11行代码。如果a[mid]这个元素已经是数组中的最后一个元素了，那它肯定是我们要找的;如果a[mid]的后一个元素a[mid+1]不等于value，那也说明a[mid]就是我们要找的最后一
}
if (low < n && a[low]==value) return low;
else return -1; }
个值等于给定值的元素。如果我们经过检查之后，发现a[mid]后面的一个元素a[mid+1]也等于value，那说明当前的这个 a[mid]并不是最后一个值等于给定值的元素。我们就更新low=mid+1，因为要找的元素肯定出现在 [mid+1, high]之间。

变体三:

查找第一个大于等于给定值的元素现在我们再来看另外一类变形问题。在有序数组中，查找第一个大于等于给定值的元素。比如，数组中存储的这样一个序列:3，4，6，7，10。如果查找第一个大于等于5的元素，那就是6。实际上，实现的思路跟前面的那两种变形问题的实现思路类似，代码写起来甚至更简洁。

public int bsearch(int[] a, int n, int value) { int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
intmid= low+((high-low)>>1); if (a[mid] >= value) {
if ((mid == 0) || (a[mid - 1] < value)) return mid;
else high = mid - 1; } else {
low = mid + 1; }
}
return -1; }

如果a[mid]小于要查找的值value，那要查找的值肯定在[mid+1, high]之间，所以，我们更新 low=mid+1。对于a[mid]大于等于给定值value的情况，我们要先看下这个a[mid]是不是我们要找的第一个值大于等于给定值的元素。如果a[mid]前面已经没有元素，或者前面一个元素小于要查找的值value，那 a[mid]就是我们要找的元素。这段逻辑对应的代码是第7行。如果a[mid-1]也大于等于要查找的值value，那说明要查找的元素在[low, mid-1]之间，所以，我们将 high更新为mid-1。

变体四:

查找最后一个小于等于给定值的元素
现在，我们来看最后一种二分查找的变形问题，查找最后一个小于等于给定值的元素。比如，数组中存储了这样一组数据:3，5，6，8，9，10。最后一个小于等于7的元素就是6。是不是有点类似上面那一种?实际上，实现思路也是一样的。有了前面的基础，你完全可以自己写出来了，所以我就不详细分析了。我把代码贴出来，你可以写完之后对比一下。

public int bsearch7(int[] a, int n, int value) { int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
intmid= low+((high-low)>>1); if (a[mid] > value) {
high = mid - 1; } else {
if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] > value)) return mid;
else low = mid + 1; }
}
return -1; }

解答开篇

好了，现在我们回头来看开篇的问题:如何快速定位出一个IP地址的归属地? 现在这个问题应该很简单了。如果IP区间与归属地的对应关系不经常更新，我们可以先预处理这12 万条数据，让其按照起始IP从小到大排序。如何来排序呢?我们知道，IP地址可以转化为32位的整型数。所以，我们可以将起始地址，按照对应的整型值的大小关系，从小到大进行排序。然后，这个问题就可以转化为我刚讲的第四种变形问题“在有序数组中，查找最后一个小于等于某个给定值的元素”了。当我们要查询某个IP归属地时，我们可以先通过二分查找，找到最后一个起始IP小于等于这个IP的 IP区间，然后，检查这个IP是否在这个IP区间内，如果在，我们就取出对应的归属地显示;如果不在，就返回未查找到。
内容小结
上一节我说过，凡是用二分查找能解决的，绝大部分我们更倾向于用散列表或者二叉查找树。即便是二分查找在内存使用上更节省，但是毕竟内存如此紧缺的情况并不多。那二分查找真的没什么用
处了吗? 实际上，上一节讲的求“值等于给定值”的二分查找确实不怎么会被用到，二分查找更适合用在“近似”查找问题，在这类问题上，二分查找的优势更加明显。比如今天讲的这几种变体问题，用其他数据结构，比如散列表、二叉树，就比较难实现了。变体的二分查找算法写起来非常烧脑，很容易因为细节处理不好而产生Bug，这些容易出错的细节有:终止条件、区间上下界更新方法、返回值选择。所以今天的内容你最好能用自己实现一遍，对锻炼编码能力、逻辑思维、写出Bug free代码，会很有帮助。