线性代数学习总结-矩阵求解

线性方程的row picture和column picture

对于一个二维具有2个未知数或者三维的具有3个未知数的的线性方程

$x - 2y = 1$
$3x + 2y = 11$

求解未知数。
用二维的例子来说明，很简单，小学都学过的课程，2个方程代表两条直线，相交的点就是解（row pic）。

row pic

那么将方程式用线性组合的方式表示呢？

$x\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix} + y\begin{bmatrix}-2\\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\11\end{bmatrix} = b$

最终的解就是满足得到向量b的乘数因子。（col pic）

column pic

以上推广到三维的话，对于row pic而言，可能是平面与直线的交点为解，对于col pic而言，解则是满足目标向量的三个向量的乘数因子。更高维的以此类推。

消元

这是小学就学过的东西。消元的目的是将原来的矩阵 $A$ 变为上三角矩阵 $U$ ，右边同样变化，最终通过回代逐个解出未知数。

Before $x-2y=1\\3x+2y=11$ After $x-2y=1\\8y=8$

对角上的非0元素称为主元。
如果主元位置上的元素为0怎么办？通过行置换，并不会改变矩阵的性质。如果始终存在为0的元素，则可能出现无解或者是很多解的情况。

$0x = n$
$(n = 0很多解\quad n\neq 0则无解 )$

Guass-Jordan消元求逆

假设矩阵 $A$ 可逆，Guass-Jordan消元求逆基于如下公式

$\begin{bmatrix}A &I\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}I & A^{-1}\end{bmatrix}$

经过变换，将原矩阵变为单位矩阵 $I$ ，而原单位矩阵 $I$ 同步变换，最终变为 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$

A = LU

关于消元，如果我们用矩阵记录下来每一次的消元、交换步骤，再用他们的逆矩阵相乘，则会得到一个很有意思的结果。 $A=LU$

例如 $A=\begin{bmatrix}2 &1 & 0\\1 & 2 & 1\\0 & 1 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 &0 & 0\\\frac{1}{2} & 1 & 0\\0 & \frac{2}{3} & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 &1 & 0\\0 &\frac{3}{2} & 0\\0 & 0 & \frac{4}{3} \end{bmatrix} = LU$
步骤
首先是 $IA = A$
$row(2)$ 减去 $\frac{1}{2}row(1)$ 消去第一个元素，对应的消元矩阵为 $E_{21}=\begin{bmatrix}1&0&0\\-\frac{1}{2}&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} 且 \quad A=\begin{bmatrix}2&1&0\\0&\frac{3}{2}&1\\0&1&2\end{bmatrix}$
$row(3)$ 减去 $\frac{2}{3}row(2)$ 消去第二个元素，对应的消元矩阵为 $E_{32}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-\frac{2}{3}&1\end{bmatrix} 且\quad A =\begin{bmatrix}2&1&0\\0&\frac{3}{2}&1\\0&0&\frac{4}{3}\end{bmatrix}$
那么我们实际可以得到 $EA=(E_{32}E_{21})A=U\quad有\quad E^{-1}EA=E^{-1}U \quad 即\quad E^{-1} = L$
将 $E_{21}^{-1}与E_{32}^{-1}$ 相乘的结果就是 $E^{-1}$ 了，记住顺序要相反哦
$L=E^{-1}=(E_{21}^{-1}E_{32}^{-1})=\begin{bmatrix}1 &0 & 0\\\frac{1}{2} & 1 & 0\\0 & \frac{2}{3} & 1\end{bmatrix}$

这节基本上都是关于矩阵运算的相关内容，没有太多概念性的东西。

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