泊松分布推导

泊松分布一般就是为了预测在固定时间间隔内发生指定数量事件的概率（n很大，p很小）

这里假设这段时间发生事情的概率为p，事件发生的次数为k，这里我们假设每次发生一个事件相互独立。那么我们认为总次数n满足 $np = k$ 。

因此对于一个简单的独立同分布事件发生k次的概率为：
$P(X = k) = C_n^k{p^k}{(1 - p)^{n - k}}$

若是满足p很小，比如为0.00001，我们进行100000次抽样，那么抽到6次的概率为多少？在这里我们将总次数看作很大的一个数，因此发生的概率可以进行如下推到以达到简化目的：

$P(X = k) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } C_n^k{p^k}{(1 - p)^{n - k}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{n(n - 1) \cdots (n - k + 1)} \over {k!}}{p^k}{(1 - p)^{n - k}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{n!} \over {(n - k)!k!}}{({\lambda \over n})^k}{(1 - {\lambda \over n})^{n - k}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{n!} \over {(n - k)!}}{(1 - {\lambda \over n})^n}{({\lambda \over n})^k}{1 \over {k!}}{(1 - {\lambda \over n})^{ - k}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{n!} \over {(n - k)!{n^k}}}{(1 - {\lambda \over n})^n}{{{\lambda ^k}} \over {k!}}{(1 - {\lambda \over n})^{ - k}}$

$= {e^{ - \lambda }}{{{\lambda ^k}} \over {k!}}$

对于最后一步：

1
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{n!} \over {(n - k)!{n^k}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{n!} \over {(n - k)!{n^k}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{n(n - 1) \cdots (n - k + 1)} \over {{n^k}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {n \over n}{{n - 1} \over n}{{n - 2} \over n} \cdots {{n - k + 1} \over n}$
$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {n \over n}*\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{n - 1} \over n}*\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{n - 2} \over n}* \cdots \mathop {*\lim }\limits_{n \to \infty } {{n - k + 1} \over n}$
$= 1$
2
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {(1 - {\lambda \over n})^{ - k}} = 1$
3
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {(1 - {\lambda \over n})^n}$
$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {(1 + ( - {\lambda \over n}))^n}$
$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {(1 + ( - \lambda {1 \over n}))^{( - {1 \over \lambda }n)( - \lambda )}}$
$\mathrel{\mathop{\kern0pt\longrightarrow} \limits_{{1 \over m} = - \lambda {1 \over n}}^{m = - {1 \over \lambda }n}} \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } {(1 + {1 \over m})^{m( - \lambda )}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } {\left[ {{{(1 + {1 \over m})}^m}} \right]^{ - \lambda }}$
$= {e^{ - \lambda }}$