[02] 高斯定理：关于引力的计算

回到引力这个物理量。作为同时具备大小与方向的物理量，力是矢量，从而引力场可以用矢量场来描述。引力这类矢量有一个特点，大体上讲，这类有心力是从四面八方指向一个源的。对于矢量场的汇合（由外朝内）或者说发散（由内朝外）程度，可以用散度(divergence)来描述：
$\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\partial_x A_x+\partial_y A_y + \partial_z A_z$

在描述引力场之前，不妨先用水流作为类比。取水管的一个截面，由物质守恒，或者说连续性原理，如果发现流出的水比流入的更多，说明这个截面一定还有额外流入的水流，或者说，这个截面是有源的。

水流

我们对这个截面做一个环路积分，积分得到的结果就是这个截面所“产生”出来的水量。很显然，产生出的水量是与截面内部的水源相关的。这正是数学上的Gauss（高斯）定理：
$\int_V{\nabla \cdot \vec{A}\text{d}V=\oint_{\partial _V}{\vec{A}\cdot \text{d}\vec{S}}}$

或者写成微分形式，例如大家所熟知的Maxwell方程之一：
$\nabla \cdot \vec{\mathrm{E}}=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \rho$

对于电场力与引力这样的有心力，可以很方便地利用Gauss公式计算某处场强。最简单的例子：一个质点质量为 $m$ ，问他在距离为 $r$ 的地方所激发出的引力大小为多少。
由Gauss公式，左式与半径为 $r$ 的虚拟球内部的质量相关，也就是
$\int_{V} \nabla \cdot \vec{A}_G d V=-4 \pi G \int_{V} \rho d V=-4\pi Gm$
其中的 $\vec{A}_G$ 为引力场的场强。而右式为引力场在虚拟球面上的通量，在内部的质量分布均匀时，积分的数值为：
$4\pi r^2\cdot A_G$
于是有
$-4\pi Gm = 4\pi r^2\cdot A_G$
得到场强 $A_G=-\frac{Gm}{r^2}$ ，其中的负号表示方向，沿半径向内。乘上被吸引物体的质量就得到了引力的大小。

我们感兴趣的是另一个问题：在一个匀质天体上挖一个深井，天体的半径为 $r$ ，井深为 $h$ ，那么井底所受到的引力应该怎么计算呢？类似的，利用Gauss公式，我们发现，引力只和井底内部的质量相关，就宛如井底之外的质量不存在一样。所以得到引力场强为 $-\frac{Gm'}{(r-h)^2}$ ，其中内部的质量 $m'\propto r^3, m'=m\frac{(r-h)^3}{r^3}$ ，因而最后得到的引力场强为 $-\frac{Gm(r-h)}{r^3}$ 。显然 $h=0$ 时，也就是地表的引力最大。

另外以Gauss命名的公式有很多，物理里面很常用的还有一个Gauss积分，通常和概率有一些联系，大概是：
$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} d x=\sqrt{\pi}$

这个式子并不难积，平方之后直接换成极坐标就迎刃而解了。

最后编辑于：2020.07.05 14:15:06