终于之前的工作告一段落，可以有闲情看看感兴趣的讲座。略有所得，随手记录，文字粗糙，不求甚解。
[!Question] Can we use Quantum Mechanics to describe our universe?
(Textbook QM: Quantization--> Hilbert space: {quantum states}--> What we measure are the expected values of operators.)
这需要假设，系统是的孤立的，然后我们可以从外界观察这个系统；换句话来说，我们可以完整描述系统，比如一个自旋1/2的粒子；如果系统是无穷多个这样的粒子，而我们只能观察到其中一部分呢？或者一个更真实的例子：我们的宇宙具有视界，视界之外对于我们完全是未知的。这些时候怎么办？这时候我们就只能利用我们能做的：考虑所有的可观测量，我们假设他们对应一些算符，并且生成一个代数，可以定义期望值, 代表观测的结果。
在对算符和期望值加上一些合理的假设[1]后，我们构造一个Hilbert 空间，这样我们似乎得到了一个textbook QM的描述，比如我们有量子态的概念使得期望值可以写成我们熟悉的形式。这个构造成为[[GNS construction]]。
但是需要注意，构造出来的Hilbert 空间只能描述我们能观察到系统的一部分。比如可以构造一个描述宇宙视界内的Hilbert space，但是它对视界外还是一无所知。
我们可以这样来来理解GNS 构造：我们能测量到只是一些概率分布，然后加入一些公理化的假设，把这些概率分布提升为量子力学的描述。这个像是早期海德堡版本的量子力学，算符扮演了基本的角色，算符构成的代数包含了所有的信息。
那么我们的基本问题变成：这个代数是什么样的？如何分类？不同类的之间的区别是什么？反应了怎样的物理事实？
分类问题反而是简单的，没有歧义的。假设算符都是有界的(bounded)，并且算符空间有一些好的收敛性质： , 那么我们得到的代数称为von Neumann (vN)代数。每一个vN代数都能分解成factor 的直和，factor是不含有中心算符的vN代数，即除了C-number以外不存在和其他算符都对易的算符。
factor 可以分为三类：Type I，II，III。
通常的factor 都是Type III的。Type I，II具有一些额外的特殊结构使得研究起来更简便：
- 具有 trace，但是没有不可约表示：Type II,
- 具有不可约表示：Type I。注意不可约表示自动带了一个trace的定义。这个也是通常textbook QM 的情况。
为什么有了trace，会简化代数？因为我们利用trace来定义密度矩阵算符
密度算符 是直接描述量子态的算符，比如我们定义一些与观测量选取无关的物理量，比如冯诺依曼纠缠熵
为什么有不可约表示比较好？首先trace的定义是依赖表示的，选取不同的表示，trace的结果也不一样。利用不可约表示定义的trace就没有任何歧义。如果不可约表示，所有的表示似乎是同等的，但是他们的trace 又不一样，那么我们应该选取哪个？即使你一直固定一个表示也还是有歧义。因为对于Type II代数，直接在一个表示里计算的trace都是无穷大，为了得到有有限值，还要做某种重整化，这就引起了一个如何做重整化的歧义。这个歧义反映在纠缠熵的结果上:
换句话说，只有纠缠熵的差别是有意义的，这更像是热力学里面熵的性质。虽然这时候可以定义熵，但是并没有微观态描述的解释。从另外的角度来看，或许这也是一个好事，因为它似乎解决了，一个系统具有熵却没有微观态表述，比如黑洞，的矛盾。
Type III 是最差的，不能定义trace，也不能定义密度矩阵，也不能定义纠缠熵，与textbook QM差别最大。但是有趣的是Araki(1964)证明，对于量子场论，任何一个时空子区域上的代数都是Type III的。也就是说，如果我们只能观察到部分的宇宙，那我们就必须接受Type III代数。
还有更糟的，即使是考虑定义在平直时空这种不具有视界的时空上面的量子场论，它的代数也可能是Type III。这个发现[2] 使人们对vN的研究重新产生了兴趣。
[2] 的想法是来自AdS/CFT。CFT是定义在AdS时空的边界，这个边界是一个平直时空，所以一般来说这个CFT的代数应该是Type I的。但是如果我们要求CFT有一个经典引力的描述，我们需要取牛顿常数为0的极限。如果有两个这样的CFT，分别定义在两个AdS的边界上，那么这个时候其实有两个不同的引力解：两个独立的AdS时空或者一个连接两个AdS边界的最大延拓黑洞时空(eternal black hole)。这个黑洞时空具有两个彼此没有因果联系的子空间，每个子空间包含一个AdS边界。
在黑洞这种时空下，每一个AdS边界只与一部分的AdS 内部时空有联系：
从bulk角度来看，每个子空间里的量子场论的代数都是Type III的，所以根据AdS/CFT，和它对偶的CFT的代数应该是Type III 的。
我们怎么来理解不得不面对的Type III 代数呢？当然一种态度就是接受这个事实，就如同我们接受这个世界是量子的一样。放弃量子微观态，放弃纠缠熵这些概念，重新训练我们的直觉来理解基于Type III 量子力学。另外的态度是，量子力学从某种角度来说失效了，可能缺失了某些关键的东西，就如同开始人们尝试帮量子力学用到电动力学得到一些无穷大的散射振幅一样。对于大部分的物理学家，可能倾向爱因斯坦对于宇宙的态度:
"Subtle is the Lord, but malicious He is not."
其实从物理和数学两个方面，都有一些启示。从数学方面，是存在一种机制，称为cross product [3]， 可以把一个Type III 代数变成Type II。从物理方面，利用欧式路径积分是可以定义trace的，所以引力理论的代数也应该是Type II的。比如在JT引力+matter这种简单的理论里，可以比较严格地说明这件事。
基于这两个方面，一个想法就是在扩充现在的Type III代数。但是难点是，加入什么算符。首先我们要求这个算符是不依赖场论本身的，对任何理论都是可以定义的。其次，我们当然希望它不是那么人为的，是有一些物理解释的。最后，希望得到的Type II理论是和我们已知的某些结果是自洽的，比如可以计算广义的纠缠熵 (generalikzed entropy)。
数学告诉我们说要加入代数的一个模自同构。物理告诉我们说，这个生成这个模自同构的算符可以理解为一个(模)哈密顿量。
结合这两个启示，可以想象到，对于黑洞这个情况，或许可以加入，boost 算符，来实现这个代数转变。剩下的问题是如何在牛顿常数=0这个极限定义boost 算符。这个可能就不是很容易想到了，不过Witten可以。
对于宇宙视界（也就是dS时空）这个情况，我们有如下线索：1）如果我们看dS时空的static patch，他和刚刚黑洞图很像，只不过在dS时空彭罗斯图的边界代表了一个观测者的测底线。2）线索二是，在AdS的情况，boost算符其实边界场论的哈密顿量。
从这两个线索，可以想象到，我们需要在代数里加入观测者的哈密顿量。但是观测者的哈密顿量看起来并不想一个模哈密顿量。剩下的问题是证明扩充的代数确实是Type II的。这个就不容易了，不过Witten证明了。
回到开头的问题：Can we use Quantum Mechanics to describe our universe?
我们可能期待这里的QM是指基于Type I代数的QM，那么就需要一种新的机制来把Type II继续提升成Type I。对于这个问题，目前是既没有数学也没有物理的线索。
