3．实数系中无理数的表示和几个特殊的无理数．
(1)用连分数表示无理数
我们在前面用连分数表示一个有理数，它是有限的，如：57/17＝3＋1／2＋1／1＋1/5．同样一个无理数也可用连分数表示，但它是无限的，就几何意义是讲就是有理数的可公度性和无理数的不可公度性．我们举这样一个例子：对于二次方程x𠆢2＋2x－1＝0，或者写成x＝1/(2＋x)；x＝(根2)－1是这个二次方程的一个根，如果把x＝1/(2＋x)右边的x不断用1/(2＋x)代替，就不断得出：
x＝1／2＋1／2＋1／(2＋x)；继续下去，那么在第n步后，我们得到：
x＝1／2＋1／2＋1／2＋⋯1／(2＋x)。（共n步）当n趋于无穷时，得(根2)的“无限连分数”为(根2)＝1＋1／2＋1／2＋⋯。这是一个把(根2)与整数联系起来的绝妙公式，比(根2)的＋进位小数展式更好，因为(根2)小数展开式其数字的排列是没有规律的。对于形如x𠆢2＝ax＋1，或者x＝a＋1/x的任意二次方程，我们有展式
x＝a＋1／a＋1／a＋1／a＋1／a＋⋯；例如，令a＝1，我们得到x＝1/2(1＋根5)＝1＋1／1＋1／1＋1／1＋⋯；
对于兀和e，欧拉能求得几乎同样简单的无穷连分数展式，我们不加证明地列举如下：
e＝2＋1／1＋1／2＋1／1＋／1＋1／4＋1／1＋1／1＋1／6＋⋯；e＝2＋1／1＋1／2＋2／3＋3／4＋4／5＋⋯；
(2)欧拉数e
我们来考察序列｛an｝，an＝1＋1/1！＋1/2！＋⋯＋1/n！＝(1＋1/n)𠆢n，因为a(n＋1)＞an，所以｛an｝是一个单调递增序列，再者，an＜B＝3是有上界的，这是因为：1/n！＜1/n(n－1)＝1/n－1)－1/n，所以an＜1＋1＋1－1/2＋1/2－1/3＋1/3－⋯＋1/(n－1)－1/n＝3－1/n＜3
又因为1/s！＝1/2·1/3·⋯1/s＜1/2·1/2·1/2·⋯1/2＝1/2𠆢(s－1)，从而an＜1＋1＋1/2＋1/2𠆢2＋1/2𠆢3＋⋯＋1/2𠆢(n－1)＝1＋［1－(1/2)𠆢n］/(1－1/2)＝1＋2［1－(1/2)𠆢n］＜3，所以当n趋于无穷时，an必趋近一个极限，这个极限我们就叫做e，e＝liman(n无限大)
e是无理数，我们用反证法，先假设e＝p/q，p，q为互质的整数
因为2＜e＜3，e不能是整数，所以q＞＝2，q！＝2·3·4·⋯·q
那么eq！＝q！(1＋1/1！＋1/2！＋⋯＋1/n！＋⋯)
p/q·q！＝(q！＋q！＋3·4·⋯q＋4·5⋯q＋⋯＋(q－1)q＋q＋1＋1/(q＋1)＋1/(q＋1)(q＋2)＋⋯
即p·2·3⋯(q－1)＝(q！＋q！＋⋯＋q＋1＋1/(q＋1)＋⋯
显然上式左右为一整数，右边从q！加到(q＋1)是整数，而1/(q＋1)＋1/(q＋1)(q＋2)＋⋯＜1/3＋1/3𠆢2＋1/3𠆢3＋⋯＝1/3［1/(1－1/3)］＝1/2不是整数．因此推出矛盾，所以e不是有理数。
