参考书目为安德森的《商务与经济统计》，以下为个人的学习总结，如果有错误欢迎指正。有需要本书pdf的，链接在本文末尾。（仅限个人学习使用，请勿牟利）

第五章 离散型概率分布

5.1 随机变量

随机变量（random variable）：是对一个试验结果的数值描述。
根据取值可分为离散型或连续型。

5.1.1 离散型随机变量

可以取有限多个值或无限可数多个值的随机变量称为离散型随机变量（discrete random variable）。下图为例子

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5.1.2 连续型随机变量

可以在某一区间或多个区间内任意值的随机变量称作连续型随机变量（continuous random variable）。下图为例子：

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5.2 离散型概率分布

随机变量的概率分布（probability distribution）是描述随机变量取不同值的概率。概率函数（probability function）给出随机变量每种取值的概率，计作。

1. 经验离散分布
   采用相对频率法简历离散型概率分布得到的所谓经验离散分布（empirical discrete distribution）
   举例，下面是DiCarlo公司汽车日销售量的概率分布（经验离散分布）：
   

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   一个离散型概率函数的基本条件：
   即任意一个变量概率要大于等于0
   所有概率加起来等于1

2. 离散型均匀概率分布
   离散型均匀概率函数（discrete uniform probability distribution） 其中n为随机变量可能的个数。

5.3 数学期望与方差

5.3.1 数学期望

随机变量的数学期望（expected value）或均值是对随机变量中心位置的一种度量。离散型随机变量的数学期望的数学表达式如下：
离散型随机变量的数学期望：
通常用和表示数学期望。下面是例子

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5.3.2 方差

方差（variance）用于描述随机变量取值的变异性。
离散型随机变量的方差：
方差的关键是离差——随机变量的值与数学期望或均值的差。如下图的例子：

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标准差（standard deviation）为方差的算术平方根：
标准差单位一致，但是方差单位是平方（难解释，就先不说了）。

5.4 二元分布、协方差和金融资产组合

两个随机变量的概率分布称为二元概率分布（bivariate probability distribution）

5.4.1 二元经验离散型概率分布

如DiCarlo公司在两个代理商中一天销售汽车数量的例子中：

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这样就计算出了数学期望和方差。

随机变量x和y的协方差：

随机变量x和y的相关系数：

接近1为正相关，-1为负相关，0为不相关

5.4.2 金融上的应用

如一个portfolio如下

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我们可以计算两个变量的期望和方差，期望高则预期收益高，方差大则风险大。

当我们采用组合投资的方式，如两种投资方式各一半：
随机变量x和y的线性组合的数学期望：

两个随机变量的线性组合的方差：

5.4.3 小结

两个随机变量的关系，用协方差和相关系数来度量。

5.5 二项概率分布

5.5.1 二项试验

二项试验（binomial experiment）的性质：

1. 一系列相同的n个试验组成
2. 每次试验结果只有“成功”、“失败”两种结果。
3. 每一次成功的概率相同，成功为p，失败为1-p（平稳性）
4. 试验是相互独立的。（独立性）
   性质3是平稳性，性质4是独立性。两者有区别，比如推销员是一天的时间连续访问10个客户，那可能就疲惫了，成功概率随着次数而降低。
   如果试验具有性质2、3、4，我们称为伯努利过程产生的。
   二项试验中，令x代表n次试验成功的次数。x为一个离散型随机变量，与这一随机变量对应的概率分布称为二项概率分布（binomial probability distribution）。

常见的二项试验：抛n次硬币，访问n次顾客成功的次数x（根据经验概率代表成功概率）。

5.5.2 马丁服装商店的问题（3人来光顾，2人购买的概率多少呢？（购买概率0.3））

符合二项试验的性质，那么图解如下：

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n次试验中有x次成功试验结果的个数，相当于

二项概率函数：（x为成功次数，p为成功概率，f(x)为n次试验中x次成功的概率）

5.5.3 二项概率表的使用

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可以查表，也要学会用计算机的软件来算

5.5.4 二项分布的数学期望和方差

二项分布的数学期望和方差：

5.6 泊松概率分布

特定时间段或空间中某事件发生的次数，例如：一小时内加油站接待客人数，10公里的高速需要维修路段的数目。
泊松概率分布（poisson probability distribution），对应的泊松试验的性质：

1. 任意两个相等长度的区间上，事件发生的概率相等
2. 事件在某一区间上是否发生与事件在其他区间上是否发生是独立的。

泊松概率函数：

f(x)表示事件在一个区间发生x次的概率，为事件在一个区间发生次数或期望或均值
泊松分布的期望和方差是相等的

对泊松概率分布，x没有上限，所以x大到一定程度，f(x)也趋近于0

5.6.1 一个时间段上的例子

泊松分布也有概率表：

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5.7 超几何概率分布

超几何概率分布与二项概率分布联系密切，超几何分布的各次试验不是独立的（不放回抽取）。
N表示总体容量，r表示总体中具有成功标志的元素的个数
N-r表示总体中失败标志的元素个数，采用不放回的抽样方法，从N中抽取n个元素。
超几何概率函数：从N中不放回抽取n个，计算n个元素中恰好有x个成功，n-x个失败的概率。

分母为从N抽取n个有多少种不同抽取方式，分子为成功中抽取成功的种类数量 乘以 失败中抽取失败的种类数量。

x的取值范围 超出r的话，f(x)=0

超几何分布的均值和方差：

代表首次试验中成功的概率，容量足够大的时候趋近于1，此时

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