Frenet标架

命题1： $|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|^2=|\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})^2$ 。▼
proof：因为 $|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|^2=(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})=[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}]$ 即可以把两个叉乘的点乘看做是一个混合积的形式。又因为混合积是顺序轮换的，因此 $[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}]=[\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}]=\left(\boldsymbol{b}\times(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\right)\cdot \boldsymbol{a}$
而 $\left(\boldsymbol{b}\times(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\right)=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b})-\boldsymbol{b}(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})$ ，于是 $\begin{split} |\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|^2&=\left(\boldsymbol{b}\times(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\right)\cdot \boldsymbol{a}\\&=\left(\boldsymbol{a}(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b})-\boldsymbol{b}(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\right)\cdot \boldsymbol{a}\\ &=(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a})(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b})-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\\ &=|\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2-(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b})^2 \end{split}$ █

命题2：向量函数 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)$ 具有恒定模长，当且仅当 $\forall t,\,\boldsymbol{r}'\perp\boldsymbol{r}$ 。▼
proof：设 $\boldsymbol{r}^2=c$ ，于是 $\mathrm{d}(\boldsymbol{r}^2)/\mathrm{d}t=2\boldsymbol{r}\boldsymbol{r}'=0$ ，从而 $\boldsymbol{r}'\perp\boldsymbol{r}$ 。反过来若两者垂直，则点乘为0，两边积分即可得到 $\boldsymbol{r}$ 为恒定模长。█

设曲线 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$ ，在任意一点的切向量为 $\boldsymbol{r}'=(x',y',z')$ ，从而单位切向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $\boldsymbol{\alpha}=\frac{\boldsymbol{r}'}{|\boldsymbol{r}'|}$
因为 $|\boldsymbol{\alpha}|\equiv1$ ，因此根据命题2可知， $\boldsymbol{\alpha}'\perp\boldsymbol{\alpha}$ 。因为 $\boldsymbol{\alpha}$ 是单位切向量，于是与之垂直的即为法向量，我们令 $\boldsymbol{\beta}=\frac{\boldsymbol{\alpha}'}{|\boldsymbol{\alpha}'|}$ 即可得到单位法向量。

我们现在来求解 $\boldsymbol{\beta}$ 。设 $r=|\boldsymbol{r}'|=\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}$ ，于是 $\boldsymbol{\alpha}=\frac{1}{r}(x',y',z')$ 。我们注意到， $r$ 在这里不是常数，它仍然是关于变量 $t$ 的函数，事实上 $\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=\frac{2x'x''+2y'y''+2z'z''}{2\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}}=\frac{x'x''+y'y''+z'z''}{r}$ 令 $h=x'x''+y'y''+z'z''$ ，于是 $r'=h/r$ 现在，我们有 $\begin{split} \boldsymbol{\alpha}' &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{\alpha}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{r}\boldsymbol{r}'\right)\\ &=\frac{1}{r}\boldsymbol{r}''-\frac{r'}{r^2}\boldsymbol{r}'=\frac{\boldsymbol{r}''}{r}-\frac{h}{r^3}\boldsymbol{r}'\\ &=\frac{1}{r^3}\left(r^2\boldsymbol{r}''-h\boldsymbol{r}'\right) \end{split}$
此外 $\begin{split} |\boldsymbol{\alpha}'| &=\frac{1}{r^3}|r^2\boldsymbol{r}''-h\boldsymbol{r}'|\\ &=\frac{1}{r^3}\big|(r^2x''-hx',r^2y''-hy',r^2z''-hz')\big|\\ &=\frac{1}{r^3}\sqrt{(r^2x''-hx')^2+(r^2y''-hy')^2+(r^2z''-hz')^2}\\ &=\frac{1}{r^3}\sqrt{r^4(x''^2+y''^2+z''^2)+h^2(x'^2+y'^2+z'^2)+\cdots}\\ &\quad\quad\cdots\overline{-2hr^2(x'x''+y'y''+z'z'')}\\ &=\frac{1}{r^3}\sqrt{r^4k^2+h^2r^2-2h^2r^2}\;(\text{let }k=\sqrt{x''^2+y''^2+z''^2})\\ &=\frac{1}{r^2}\sqrt{r^2k^2-h^2} \end{split}$ 所以 $\boldsymbol{\beta}=\frac{\boldsymbol{\alpha}'}{|\boldsymbol{\alpha}'|}=\frac{r^2\boldsymbol{r}''-h\boldsymbol{r}'}{r\sqrt{r^2k^2-h^2}}$ 下面来分析各个量：

首先，因为 $r=\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}$ ，所以 $r=|\boldsymbol{r}'|,r^2=\boldsymbol{r}'\cdot\boldsymbol{r}'$ ；
而 $k=\sqrt{x''^2+y''^2+z''^2}$ ，故 $k=|\boldsymbol{r}''|,k^2=\boldsymbol{r}''\cdot\boldsymbol{r}''$ ；
此外 $h=x'x''+y'y''+z'z''=\boldsymbol{r}'\cdot\boldsymbol{r}''$ 。

于是又有 $\boldsymbol{\beta}=\frac{(\boldsymbol{r}'\cdot\boldsymbol{r}')\boldsymbol{r}''-(\boldsymbol{r}'\cdot\boldsymbol{r}'')\boldsymbol{r}'}{|\boldsymbol{r}'|\sqrt{(\boldsymbol{r}'\cdot\boldsymbol{r}')(\boldsymbol{r}''\cdot\boldsymbol{r}'')-(\boldsymbol{r}'\cdot\boldsymbol{r}'')^2}}$ 而根据命题1，进一步有 $\boldsymbol{\beta}=\frac{(\boldsymbol{r}'\cdot\boldsymbol{r}')\boldsymbol{r}''-(\boldsymbol{r}'\cdot\boldsymbol{r}'')\boldsymbol{r}'}{|\boldsymbol{r}'|\cdot|\boldsymbol{r}'\times\boldsymbol{r}''|}$
因为 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$ 分别是单位切向量和单位法向量，两者彼此正交，因此二者的叉乘也是一个单位向量 $\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{\beta}=\frac{\boldsymbol{r}'\times\boldsymbol{r}''}{|\boldsymbol{r}'\times\boldsymbol{r}''|}$ 这个单位向量因为也与切向量正交，因此也是一个单位法向量，为了与 $\boldsymbol{\beta}$ 区分，称其为副法向量。这三个向量符合右手定则。因为空间曲线每一个点都能定出这三个彼此正交的单位向量，这个标架称为Frenet标架。三个向量作为坐标，可以形成三个坐标面，分别是密切平面、从切平面和法平面，如下图所示：

事实上从上面推导还可以得出如下命题：

命题3：设向量 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)$ ，则对其正规化有 $\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{r}/|\boldsymbol{r}|$ ，则 $\boldsymbol{\alpha}'=\frac{ (\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{r})\boldsymbol{r}'-(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{r}')\boldsymbol{r} }{ r^3 }$ $|\boldsymbol{\alpha}'|=\frac{|\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{r}'|}{r^2}$ 其中 $r=|\boldsymbol{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 。

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