基础知识

数学期望

定义：衡量随机变量在大量重复试验中的平均取值，即概率加权平均。

计算公式（只考虑离散型）：

  • 离散型：
  • E(X)=\sum_{i=1}^{n} x_i \, P(X=x_i)

核心性质：

E(aX + b) = aE(x) + b

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

若X，Y独立，则 E(XY) = E(X)E(Y)

方差

定义：衡量随机变量与其期望的偏离程度，反映数据的波动性或稳定性。

计算公式：

Var(X) = E[(X - E(X)^{2})] = E(X^{2}) - E(X)^{2}

标准差

定义：方差的平方根

\sigma(X) = \sqrt(Var(X))

核心性质：

Var(aX+b) = a^{2}Var(X)

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)

若X，Y独立，则Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)

协方差

定义：衡量两个随机变量协同变化的趋势。

计算公式：

Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y)

符号意义：

  • 正值：同向变化（一增一也增）
  • 负值：反向变化（一增一减）
  • 零：无线性关系（但可能有非线性关系）

核心性质：

Cov(X,Y) = Cov(Y,X)

Cov(aX,bY) = abCov(X,Y)

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)

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