模型与相容性问题
要使非欧几何成为数学的合法分支，还需要回答一个基本问题，即它们是否相容。如果证明在这些几何中矛盾是固有的，则说明高斯、罗巴切夫斯基、鲍耶、黎曼、克莱因等人的工作是毫无意义的。
实际上二维二重椭圆几何相容性的证明是现成的，可能黎曼已经认识到了，只是没有明说。贝尔特拉米指出黎曼正的常曲率二维几何可在球面上实现，这个模型可证明二维二重椭圆几何的相容性，这种几何的公理（此时尚未明确提出）与定理完全可应用到球面上的几何，只要把二重椭圆几何的直线解释成大圆，若在二重椭圆几何内有矛盾的定理，则在球面的几何内也有矛盾的定理。因为球是欧氏几何的一部分，而欧氏几何相容，所以二重椭圆几何也相容。对1870s的数学家来说，欧氏几何的相容性没有问题，除了高斯等几个人的观点，普遍认为欧氏几何是物质世界的必然几何，而物质世界存在矛盾性质是不可想象的。后来人们认识到二重椭圆几何的相容性证明依赖于欧氏几何的相容性。
证明二重椭圆几何相容性的方法不能用于单重椭圆几何或双曲几何，单重椭圆几何的半球面模型不能在三维欧氏几何空间实现，但能在四维欧氏几何中实现。如果愿意相信四维欧氏几何的相容性，则可以接受单重椭圆几何的相容性。然而尽管格拉斯曼、黎曼等人考虑过n维几何，1870s的数学家还不能肯定四维欧氏几何的相容性。
双曲几何的相容性不能根据以上理由建立，贝尔特拉米曾给出伪球面解释，伪球面是欧氏几何空间的一个曲面，但只作为双曲几何有限区域的模型，不能建立完整的相容性。罗巴切夫斯基和鲍耶也曾考虑这个问题，但未能解决，事实上鲍耶虽然发表了非欧几何，但他也怀疑非欧几何的相容性，因为他去世后，人们在手稿中发现他还在试图证明欧几里得平行公理。
双曲几何和单重椭圆几何通过新的模型建立了相容性，贝尔特拉米给出了双曲几何模型，但用于几何模型的距离函数则归功于克莱因，也常有人认为这个模型是克莱因给出的。
