Momentum
Momentum的迭代公式为：
其中一般为损失函数。我们知道，一般的梯度下降，是没有
这一项的，有了这一项之后，
的更新和前一次更新的路径有关，使得每一次更新的方向不会出现剧烈变化，所以这种方法在函数分布呈梭子状的时候非常有效。
先来看看这个函数利用梯度下降的效果吧。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
"""
z = x^2 + 50 y ^2
2x
100y
"""
partial_x = lambda x: 2 * x
partial_y = lambda y: 100 * y
partial = lambda x: np.array([partial_x(x[0]),
partial_y(x[1])])
f = lambda x: x[0] ** 2 + 50 * x[1] ** 2
class Decent:
def __init__(self, function):
self.__function = function
@property
def function(self):
return self.__function
def __call__(self, x, grad, alpha=0.4, beta=0.7):
t = 1
fx = self.function(x)
dist = - grad @ grad
while True:
dx = x - t * grad
fdx = self.function(dx)
if fdx <= fx + alpha * t * dist:
break
else:
t *= beta
return dx
grad_decent = Decent(f)
x = np.array([30., 15.])
process = []
while True:
grad = partial(x)
if np.sqrt(grad @ grad) < 1e-7:
break
else:
process.append(x)
x = grad_decent(x, grad)
process = np.array(process)
print(len(process))
x = np.linspace(-40, 40, 1000)
y = np.linspace(-20, 20, 500)
fig, ax= plt.subplots()
X, Y = np.meshgrid(x, y)
ax.contour(X, Y, f([X, Y]), colors='black')
ax.plot(process[:, 0], process[:, 1])
plt.show()
怎么说呢，有点震荡？289步1e-7的误差
x = np.array([30., 15.])
process = []
v = 0
gamma = 0.7
eta = 0.016
while True:
grad = partial(x)
v = gamma * v + eta * grad
if np.sqrt(grad @ grad) < 1e-7:
break
else:
process.append(x)
x = x - v
用117步，话说，这个参数是不是难调啊，感觉一般很小啊。
还有一个很赞的分析，在博客：
路遥知马力-Momentum
Nesterov accelerated gradient
NGD的迭代公式是：
和上面的区别就是，第步更新，我们关心的是下一步(一个近似）的梯度，而不是当前点的梯度，我之前以为这是有一个搜索的过程的，但是实际上没有，所以真的是这个式子具有前瞻性？或许真的和上面博客里说的那样，因为后面的部分可以看成一个二阶导的近似。
x = np.array([30., 15.])
process = []
v = 0
gamma = 0.7
eta = 0.013
while True:
grad = partial(x-gamma*v)
v = gamma * v + eta * grad
if np.sqrt(grad @ grad) < 1e-7:
break
else:
process.append(x)
x = x - v
感觉没有momentum好用啊
NESTEROV 的另外一个方法？
在那个overview里面，引用的是
但是里面的方面感觉不是NGD啊，不过的确是一种下降方法，所以讲一下吧。
假设满足其一阶导函数一致连续的凸函数，比如用以下条件表示：
由此可以推得(不晓得这个0.5哪来的，虽然有点像二阶泰勒展式，但是呢，凸函数好像没有这性质吧，去掉0.5就可以直接证出来了，而且这个0.5对证明没有什么大的影响吧，因为只要让L=0.5L就可以了啊)：
为了解决，且最优解
非空的情况，我们可以：
- 首先选择一个点
,并令
其中是E中不同于
的任意点，且
- 第k 步：
a) 计算最小的满足：
b) 令
作者证明了这个方法的收敛率是的。
即在满足上面提到的假设，且利用上面给出的方法所求，可以证明，对于任意的:
其中并且
。
还有一些关于收敛步长的分析就不贴了。
证明：
令, 可以得到(通过(2))：
结果就是， 只要，不等式(4)就成立，也就是说
, 否则
。
令，则
,于是：
于是：
利用不等式(4)和的凸性，可得：
其中第一个不等式，先利用凸函数得性质：
再利用不等式(4):
代入这俩个不等式可得：
其中第一个不等式用到了(5), 第二个不等式用到了(6), 等式用到了,最后一步用到了
且
。
因此：
最后一个不等式成立是因为,左边第一项大于等于0.
又，所以：
证毕。
class Decent:
def __init__(self, function, grad):
self.__function = function
self.__grad = grad
self.process = []
@property
def function(self):
return self.__function
@property
def grad(self):
return self.__grad
def __call__(self, y, z):
def find_i(y, alpha):
i = 0
fy = self.function(y)
fdy = self.grad(y)
fdynorm = fdy @ fdy
while True:
temp = self.function(y - 2 ** (-i) * alpha * fdy)
if fy - temp > 2 ** (-i -1) * alpha * fdynorm:
return i, fdy
else:
i += 1
a = 1
x = y
fdy = self.grad(y)
fdz = self.grad(z)
alpha = np.sqrt((y-z) @ (y-z) /
(fdy-fdz) @ (fdy - fdz))
k = 0
while True:
k += 1
self.process.append(x)
i, fdy = find_i(y, alpha)
if np.sqrt(fdy @ fdy) < 1:
print(k)
return x
alpha = 2 ** (-i) * alpha
x_old = np.array(x, dtype=float)
x = y - alpha * fdy
a_old = a
a = (1 + np.sqrt(4 * a ** 2 + 1)) / 2
y = x + (a_old - 1) * (x - x_old) / a
grad_decent = Decent(f, partial)
x = np.array([30., 15.])
z = np.array([200., 10.])
grad_decent(x, z)
process = np.array(grad_decent.process)
x = np.linspace(-40, 40, 1000)
y = np.linspace(-20, 20, 500)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
fig, ax = plt.subplots()
ax.contour(X, Y, f([X, Y]), colors="black")
ax.scatter(process[:, 0], process[:, 1])
ax.plot(process[:, 0], process[:, 1])
plt.show()
用了30步就能到达上面的情况，不过呢，如果想让得1000多步，主要是因为会来回振荡。
