反向数学归纳法的提出与周氏猜测的证明

中国学者周海中根据已知的梅森素数及其排列，巧妙地运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年2月正式提出了一个关于梅森素数分布的猜想，并首次给出其分布的精确表达式。后来这一重要猜想被国际数学界命名为 “周氏猜测” 。
周氏猜测的基本内容为：当 $2^{2^{n}}<p<2^{2^{n+1}}$ 时， $M_{p}$ 有 $2^{n+1}-1$ 个是素数；即 $p<2^{2^{n+1}}$ 时梅森素数的个数为 $2^{n+2}-n-2$ .
周氏猜测自提出以来一直受到人们关注，而且在一些国内外出版的数学辞典和教科书中都有介绍。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格认为：周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法；其创新性还表现在揭示新的规律上。
周氏猜测的表达式虽然简单，但破解这一猜测的难度却很大。就目前研究文献来看，一些数学家和数学爱好者尝试破解周氏猜测，却至今未能证明或反证。

即：当 $2^{2^{n-1}}<p<2^{2^{n}}$ 时， $M_{p}$ 有 $2^{n}-1$ 个是素数；
$\pi_{M_{p}}(2^{2^{n}})-\pi_{M_{p}}(2^{2^{n-1}})=2^{n}-1......(a)$

即：当 $p<2^{2^{n}}$ 时， $\pi_{M_{p}}(2^{2^{n}})$ 梅森素数的个数为 $2^{n+1}-n-1$ ；
$\pi_{M_{p}}(2^{2^{n}})=2^{n+1}-n-1$

先看一道题：

已知数列 $\left\{ a_{n} \right\} 中， a_{1}=1,a_{n+1}=2a_{n}+1 ,$ 求数列的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$
解： $a_{n+1}+1=2(a_{n}+1)$ ,数列 $\left\{ a_{n}+1 \right\}$ 为等比数数列，公比 $q=2,$ 所以 $a_{n}+1=2^{n-1}(a_{1}+1),$ 即 $a_{n}=2^{n}-1,a_{n+1}=2^{n+1}-1,$ 且 $S_{n}=2^{n+1}-n-2$
即 $f(n)=2^{n}-1$ 算术函数有这样的性质：

(1): $f(n+1)-f(n)=2^{n+1}-2^{n}=2^{n},f(n+1)=2f(n)+1$
(2): 若 $f(n)$ 是（梅森）素数，则 $n$ 必是素数；
(3): $f_{(2^{n}-1)}=2^{2^{n}-1}-1=2^{f_{(n)}}-1,$ 在 $2^{2^{n-1}}<p<2^{2^{n}}$ 时，若 $p=f_{(2^{n}-1)}$ 是素数，则必有 $f_{(n)}$ 是梅森素数；若有 $\pi(2^{2^{n}})-\pi(2^{2^{n-1}})$ 个是素数，则必有 $f_{(n)}$ 个是梅森素数；好像在玩文字游戏！其实是有因果关系的。
(4): $p=2^{2^{0}}$ 时， $2^{2}-1=3$ 是一个梅森素数，需单独计算，所以 $\pi_{M_{p}}(2^{2^{n}})=S_{n}+1=2^{n+1}-n-1$

证明：（用反向数学归纳法）

假设 $(a)$ 式在 $n=k+1$ 时成立， $2^{2^{k}}<p<2^{2^{k+1}},p$ 为素数， $a_{k+1}=2^{k+1}-1,$ 表示在 $2^{2^{k}}—2^{2^{k+1}}$ 之间的梅森素数的个数；且 $\pi_{M_{p}}(2^{2^{k+1}})=2^{k+2}-k-2$
那么，当 $n=k$ 时，
$\pi_{M_{p}}(2^{2^{k}})=\pi_{M_{p}}(2^{2^{k+1}})-a_{k+1}$
$=2^{k+2}-k-2-(2^{k+1}-1)$
$=2^{k+1}-k-1$
并且： $a_{1}=1，a_{2}=3，a_{3}=7，a_{4}=15，a_{5}=31$ 和对应的
$\pi_{M_{p}}(2^{2^{1}})=2，$$\pi_{M_{p}}(2^{2^{2}})=5，$$\pi_{M_{p}}(2^{2^{3}})=12，$$\pi_{M_{p}}(2^{2^{4}})=27,$ 都成立； $\pi_{M_{p}}(2^{2^{5}})=64-6=58$ 还不知是否成立。如果成立的话，将有：
当 $p<2^{2^{n}}$ 时， $\pi_{M_{p}}(2^{2^{n}})$ 梅森素数的个数为 $2^{n+1}-n-1 ，$ 即 $n\rightarrow\infty$ , $\pi_{M_{p}}(2^{2^{n}})=2^{n+1}-n-1$ 都成立。

注：用数学归纳法假设当 $n=k$ 时成立，不能推出 $n=k+1$ 也成立。但用反向归纳法假设 $n=k+1$ 时成立，却能推出 $n=k$ 时成立，因为 $\pi_{M_{p}}(2^{2^{k}})=\pi_{M_{p}}(2^{2^{k+1}})-a_{k+1}$ 是已知成立的，反向归纳法要比正向归纳法增加四个反向递推起始条件 $n=2、n=3、n=4、n=5，$ 当 $n=1$ 时是正反归纳都要成立的基本条件。

反向数学归纳法：
一个包含正整数的集合如果具有如下性质，即若其包含整数 $k+1$ ，则其也包含整数 $k$ ，且 $1,2,3,4,5$ 均在其中，那么这个集合一定是所以有正整数的集合。

反向数学归纳法成立的要件：

（1）基础步骤：（递推起始条件）当 $n=1,2,3,4,5$ 时都成立（具有同一性质）；
（2）归纳步骤：（假设推导条件）当假设 $n=k+1$ 成立时能推出 $n=k$ 成立；
（3）那么 $n\rightarrow\infty$ 都成立。

它比正向归纳更加严密，多了四个递推起始条件。正向归纳中 $n=2,3,4,5$ 被省略了，严格地说是不能省略的。因为当我们猜测的结论是错误的情况下，只考虑 $n=1$ 不考虑 $n=2,3,4,5$ 递推条件（基础步骤），而在归纳步骤中由假设 $n=k$ 成立却能推出 $n=k+1$ 也成立。这样的例子有很多，举例(错误)：
$\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{(n-1)\cdot n}=\frac{3}{2}-\frac{1}{n}$

基础步骤：当 $n=1$ 时结果为真，因为 $\frac{1}{1\cdot2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{1} ，$ 没考虑 $n=2,3,4,5$
归纳步骤：假设对 $n$ 来说结果为真，则对 $n+1$ 来说也为真

$\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\cdots+\frac{1}{(n-1)\cdot n}+\frac{1}{n\cdot (n+1)}$

$=\frac{3}{2}-\frac{1}{n}+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}$

所以：正向归纳也应当考虑 $n=2,3,4,5 ,$ 没考虑而省略了是因为猜测的结论是正确的。

由此可得下面结论：

1): $T_{n+1}=2^{T_{n}}-1$ ，若 $T_{n+1}$ 是素数，则能推出 $T_{n}$ 必是素数，且 $T_{1},T_{2},T_{3},T_{4},T_{5}$ 都是素数，那么所有的 $T_{n} ( n\rightarrow\infty )$ 都是素数。由此推导出梅森素数是无穷多的。

如 $T_{1}=2,T_{2}=3,T_{3}=7,T_{4}=127,T_{5}=...27$ 得到塔顶是 $2,3,7,127,...$ 的塔形素数，是无穷多个；
如 $T_{1}=5，T_{2}=31，T_{3}=2147483647$ 但 $T_{4}=2^{2147483647}-1$ 不是素数，它有因子 $295257526626031，$ 所以 $\downarrow2^{2^{2147483647}-1}-1\downarrow$ 都不是素数；
所以：塔顶是 $2、3、7、127、 ...$ 的塔形数，都是素数。 $T_{3}4$ 之后个位数都是 $7,$ 且为 $4k-1$ 形素数。
基本塔形素数:

$\downarrow2^{2^{\sim^{2^{2}-1}\sim}-1}-1\downarrow$

派生塔形素数有无穷多个，比如：
$\downarrow2^{2^{\sim^{2^{3}-1}\sim}-1}-1\downarrow$

$\downarrow2^{2^{\sim^{2^{7}-1}\sim}-1}-1\downarrow$

$\downarrow2^{2^{\sim^{2^{127}-1}\sim}-1}-1\downarrow$

$......$

2): $2^{2^{n}}+1$ 只包含有限个 $(5个)$ 素数（基于 $T_{n+1}=2^{T_{n}}+1$ 中 $T_{n}$ 是偶数，不可能有 $T_{n+1}$ 相同素性）；所以，单个 $2^{2^{n}}\pm k$ 只包含有限个素数。
$2^{n}+1$ 只包含有限个 $(6个)$ 素数， $n$ 为奇数时 $2^{n}+1\equiv0(mod3) ， n$ 为偶数时 $T_{n}$ 是偶数，不可能有 $T_{n+1}$ 相同素性，不可能找到 $T_{1},T_{2},T_{3},T_{4},T_{5}$ 同时是素数；

特别的有：当 $p<2^{2^{n}}$ 时， $\pi_{M_{p}}(2^{2^{n}})$ 梅森素数的个数为 $2^{n+1}-n-1$ （如果 $\pi_{M_{p}}(2^{2^{5}})=58$ 成立的话）。
反向数学归纳法若成立，可解决许多难题，从而打开一片新天地。

不知与5次及以上方程没有根式解有没有关系？

可惜专家认为：该文不具有学术价值，说周海中的猜测是天方夜谭。可见国内专家的水平！

编辑于 2017-03-16