中文术语表述加了英文原文，尽量以原文为主，原文在https://see.stanford.edu/materials/aimlcs229/cs229-notes1.pdf

为什么要有指数分布族：普通线性模型（general linear model）处理二分类等问题受限（除二分类以外，还有一些其他原因），因此定义了广义线性模型（generalized linear model ）来处理这些问题，大部分经常碰到的广义线性模型都是指数分布族。

定义指数分布族的“指数”可能是因为求导方便（这个是自己想想的，不一定准确）

定义指数分布族：（指数分布族的定义符号有很多版本，这里采用的是CS229 描述的写法，注意PRML的写法稍有不同，CS229是斯坦福大学Andrew NG的机器学习课程，PRML是模式识别机器学习的经典书籍）

指数分布族形式

η 是 自然参数（natural parameter，also called thecanonical parameter）。

T(y)  是充分统计量 （sufficient statistic） ，一般情况下就是y。

a(η) 是 对数部分函数（log partition function），这部分确保Y的分布p(y:η) 计算的结果加起来（连续函数是积分）等于1.

伯努利分布作为指数分布族的例子（比如在某段时间内，广告被点击的分布；某段时间内，顾客是否进店等等）：

设 均值（mean)为 φ,分布 在Y上的取值为{0,1}，因此

p(y= 1;φ) =φ;

p(y= 0;φ) = 1−φ

即，调整φ,得到不同的伯努利分布，一旦设定好φ，T,a,b都被固定住，就能得到一个伯努利分布。

如

伯努利分布

把上式的右边改写成指数分布族形式

指数分布族形式

可以看出，

b(y) = 1

T(y) = y

a(η) = -log(1−φ)

η = log (φ/(1-φ))

因此 φ=

这个就是sigmoid函数了，也是logistic 函数，Great.

高斯分布作为指数分布族的例子（线性回归 linear regression）：

假设 σ^2 = 1

(注：If we leaveσ2as a variable, the Gaussian distribution can also be shown to be in the)

exponential family, whereη∈R2is now a 2-dimension vector that depends on bothμandσ. For the purposes of GLMs, however, theσ2parameter can also be treated by considering

a more general definition of the exponential family:p(y;η, τ) =b(a, τ) exp((ηTT(y)−a(η))/c(τ)). Here,τis called thedispersion parameter, and for the Gaussian,c(τ) =σ2;

but given our simplification above, we won’t need the more general definition for the

examples we will consider here.）  From CS229 lecture notes。

高斯分布

指数分布族的形式为

指数分布族形式

可以看出，

当然指数分布族中的成员很多，泊松分布，gamma分布，beta分布等等，碰到需要解决一个具体问题的时候（比如要去判断多少人在一个时间段内访问某个店，也是某一家店需要扩张选店的其中一个依据），泊松分布是一个很好的模型，泊松分布恰巧也是属于指数分布族。

下面描述一个方法：如何构造一个广义线性模型(GLMS)来解决上述问题（如某个时间段内，多少人进店）

具体来说，思考一个分类（classification）问题或者回归(regression)问题，我们需要预测随机变量Y是X的函数（比如多少人进店的问题，X是某个店的奖励政策、近期广告等等一些特征）

要建立一个GLM处理这个问题，首先做三个假设：

1：给定X、θ，Y的分布服从某个指数族分布（nature parameter = η）.

2:给定X，目标是预测E[Y|x]（大部分情况下，T(Y) = Y,）,即，假设函数（hypothesis）h(x) = E[Y|x].

比如线性回归的hypothesis:

比如logistic regression的hypothesis：

hθ(x) =p(y= 1|x;θ) = 0·p(y=0|x;θ)+1·p(y= 1|x;θ) = E[y|x;θ]

3：η和X线性（叫“指定选择” design choice 可能更合适）：

应用三个假设举例如下：

比如 最小二乘（ordinary least square regression），是指数分布族模型的一种special case。

ordinary least square regression ,Andrew 在9.1写的是Ordinary least square ，我自己理解为这里讲的是ordinary least square regression,) 

Andrew 使用的术语是canonical link function：g(μ) =η，用来描述均值（mean）依赖线性预测器（linear predictor ）,E(Y) =μ,g(μ) =η.

canonical response function 是canonical link function的反函数。

根据假设2，可以得出

假设2

根据假设1，假设服从高斯分布，可以得出

假设1

高斯分布 η = μ(参考前述高斯分布) ，

根据假设3：

假设3

比如 logistic regression 同理：

等式2为伯努利分布的均值

假设2可得到等式1

假设1可得到等式3

假设3可得到等式4

附原文