数学模型——微分方程

通过微分方程，探索与拟合自变量与因变量之间的关系。

大致方法

建立微分方程：
$\frac{\Delta P}{\Delta t}=\frac{P(t+\Delta t)-P(t)}{\Delta t}=kP$
将 $\Delta t$ 趋近于零时，由导数的定义得
$\lim_{\Delta t->0} \frac{\Delta P}{\Delta t}= \frac{dP}{dt} =kP$
然后解方程：
$\frac{dP}{P}=kdt$
$lnP=kt+C \Rightarrow P(t_0)=P_0 \Rightarrow C=lnP_0-kt_0$
代入得：
$lnP=kt+lnP_0+kt_0$
$ln \frac{P}{P_0} =k(t-t_0) \Rightarrow P(t)=P_0e^{k(t-t_0)}$

模型改进：

$k \not= 常数$ ， $k$ 是关于 $P$ 的函数， $k=r(M-P),r>0$ 是系数， $M$ 是极限值。

那么得
$\frac{dP}{dt}=r(M-P)P \Rightarrow \frac{dP}{P(M-P)}=rdt$
由 $\frac{1}{P(M-P)}= \frac{1}{M}(\frac{1}{P}+\frac{1}{M-P}) \Rightarrow \frac{dP}{P}+\frac{dP}{M-P}=rMdt$

求积分得 $lnP-ln|M-P|=rMt+C$ ,由 $P(t_0)=P_0$ 得：
$C=ln \frac{P_0}{M-P_0}-rMt_0$
带入后化简方程得：
$ln (\frac{P(M-P_0)}{P_0(M-P)})=rM(t-t_0) \Rightarrow \frac{P(M-P_0)}{P_0(M-P)}=e^{rM(t-t_0)}$
$得 P(t)=\frac{P_0Me^{rM(t-t_0)}}{M-P_0-P_0e^{rM(t-t_0)}}= \frac{MP_0}{[P_0+(M-P_0)e^{-rM(t-t_0)}]}$
$故得： \lim_{t \to \infty}P(t)=M$
所以现在转换成求 $r$ 和 $M$
$由 \frac{dP}{dt}=r(M-P)P \Rightarrow P''=rMP'-2rPP'=rP'(M-2P)$
得：当 $P=M/2$ 时， $P''=0$ ，即在 $M/2$ 处， $P'$ 最大，然后从 $M/2$ 至 $M$ 逐渐减小至零。
所以，可根据此，结合拟合的图像(模拟遍历)，推算出 $M$ ，从而在推算出 $r$ 。至此，方程参数已确定完毕。

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