高考理数解析几何大题：湖南湖北卷2011~2015年

2011年理数湖南卷题21

分值：13分

如图，椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1(a \gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ， $x$ 轴被曲线 $C_2:y=x^2-b$ 截得的线段长等于 $C_1$ 的长半轴长.

（I）求 $C_1,C_2$ 的方程；

（Ⅱ）设 $C_2$ 与 $y$ 轴的交点为 $M$ ，过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 与 $C_2$ 相交于点 $A,B$ ，直线 $MA,MB$ 分别与 $C_1$ 相交于点 $D,E$ .

（i）证明： $MD \perp ME$ ；
（ii）记 $\triangle MAB, \triangle MDE$ 的面积分别为 $S_1,S_2$ . 问：是否存在直线 $l$ ，使得 $\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{17}{32}$ ?

请说明理由.

2011年理数湖南卷题21

2011年理数湖北卷题20

分值：14分

平面内与两定点 $A_1(-a,0),A_2(a,0)$ 连线的斜率之积等于非零常数 $m$ 的点的轨迹，加上 $A_1,A_2$ 两点所成的曲线 $C$ 可以是圆、椭圆或双曲线.

（I）求曲线 $C$ 的方程，并讨论 $C$ 的形状与 $m$ 值的关系；

（Ⅱ）当 $m=-1$ 时，对应的曲线为 $C_1$ ；对给定的 $m \in (-1,0)\cup(0,+\infty)$ , 对应的曲线为 $C_2$ ，设 $F_1,F_2$ 是 $C_2$ 的两个焦点. 试问：在 $C_1$ 上，是否存在点 $N$ ，使得 $\triangle F_1NF_2$ 的面积 $S=ma^2$ . 若存在，求 $\tan\angle F_1NF_2$ 的值；若不存在，请说明理由.

2012年理数湖南卷题21

分值：13分

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1$ 上的点均在圆 $C_2:(x-5)^2+y^2=9$ 外，且对 $C_1$ 上任意一点 $M$ ， $M$ 到直线 $x=-2$ 的距离等于该点与圆 $C_2$ 上点的距离的最小值.

（I）求曲线 $C_1$ 的方程；

（Ⅱ）设 $P(x_0,y_0) (y_0 \ne \pm 3)$ 为圆 $C_2$ 外一点，过 $P$ 作圆 $C_2$ 的两条切线，分别与曲线 $C_1$ 相交于点 $A,B$ 和 $C,D$ . 证明：当 $P$ 在直线 $x=-4$ 上运动时，四点 $A,B,C,D$ 的纵坐标之积为定值.

2012年理数湖北卷题21

分值：13分

设 $A$ 是单位圆 $x^2+y^2=1$ 上的任意一点， $l$ 是过点 $A$ 与 $x$ 轴垂直的直线， $D$ 是直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点，点 $M$ 在直线 $l$ 上，且满足 $|DM| = m |DA| (m \gt 0,$ 且 $m \ne 1)$ . 当点 $A$ 在圆上运动时，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ .

（I）求曲线 $C$ 的方程，判断曲线 $C$ 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

（Ⅱ）过原点且斜率为 $k$ 的直线交曲线 $C$ 于 $P,Q$ 两点, 其中 $P$ 在第一象限，它在 $y$ 轴上的射影为点 $N$ ，直线 $QN$ 交曲线 $C$ 于另一点 $H$ . 是否存在 $m$ ，使得对任意的 $k \gt 0$ ，都有 $PQ \perp PH$ ? 若存在，求 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

2013年理数湖南卷题21

分值：13分

过抛物线 $E:x^2=2py(p \gt 0)$ 的焦点 $F$ 作斜率分别为 $k_1,k_2$ 的两条不同直线 $l_1,l_2$ , 且 $k_1+k_2=2$ . $l_1$ 与 $E$ 相交于点 $A,B$ , $l_2$ 与 $E$ 相交于点 $C,D$ , 以 $AB,CD$ 为直径的圆 $M$ , 圆 $N$ ( $M,N$ 为圆心) 的公共弦所在直线记为 $l$ .

（Ⅰ）若 $k_1 \gt 0, k_2 \gt 0$ , 证明: $\overrightarrow{FM} \cdot \overrightarrow{FM} \lt 2p^2$

（Ⅱ）若点 $M$ 到直线的距离的最小值为 $\dfrac{7\sqrt{5}}{5}$ , 求抛物线 $E$ 的方程.

2013年理数湖北卷题21

分值：13分

如图, 已知椭圆 $C_1$ 与 $C_2$ 的中心在坐标原点 $O$ ,长轴均为 $MN$ 且在 $x$ 轴上, 短轴长分别为 $2m,2n(m \gt n)$ ，过原点且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与 $C_1,C_2$ 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 $A,B,C,D$ .

（Ⅰ）记 $\lambda=\dfrac{m}{n}$ . $\triangle BDM$ 和 $\triangle ABN$ 的面积分别为 $S_1$ 和 $S_2$ . 当直线 $l$ 与 $y$ 轴重合时, 若 $S_1=\lambda S_2$ , 求 $\lambda$ 的值;

（Ⅱ）当 $\lambda$ 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 ,使得 $S_1=\lambda S_2$ ? 并说明理由.

2013年理数湖北卷题21

2014年理数湖南卷题21

分值：13分

如图, $O$ 为坐标原点, 椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$ , 离心率为 $e_1$ ；双曲线 $C_2:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt 0, b \gt 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_3,F_4$ , 离心率为 $e_2$ . 已知 $e_1e_2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 且 $|F_2F_4|=\sqrt{3}-1$ .
（I）求 $C_1,C_2$ 的方程;
（Ⅱ）过 $F_1$ 作 $C_1$ 的不垂直于 $y$ 轴的弦 $AB$ , $M$ 为 $AB$ 的中点. 当直线 $OM$ 与 $C_2$ 交于 $P,Q$ , 两点时, 求四边形 $APBQ$ 面积的最小值.

2014年理数湖南卷题21

2014年理数湖北卷题21

分值：14分

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $M$ 到点 $F(1,0)$ 的距离比它到 $y$ 轴的距离多 $1$ .记点 $M$ 的轨迹为 $C$ .
（I）求轨迹 $C$ 的方程;
（Ⅱ）斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过定点 $P(-2,1)$ ，求直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 $k$ 的相应取值范围.

2015年理数湖南卷题20

分值：13分

已知抛物线 $C_1:x^2=4y$ 的焦点 $F$ 也是椭圆 $C_2:\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 的一个焦点, $C_1$ 与 $C_2$ 的公共弦的长为 $2\sqrt{6}$

（I）求 $C_2$ 的方程；
（Ⅱ）过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C_1$ 相交于 $A,B$ 两点,与 $C_2$ 相交于 $C,D$ 两点,且 $\overrightarrow {AC}$ 与 $\overrightarrow {BD}$ 同向.

（i） $|AC| =|BD|$ , 求直线 $l$ 的斜率；
（ii）设 $C_1$ 在点 $A$ 处的切线与 $x$ 轴的交点为 $M$

证明：直线 $l$ 绕点 $F$ 旋转时， $\triangle MFD$ 总是钝角三角形.

2015年理数湖北卷题21

分值：14分

一种作图工具如图1所示. $O$ 是滑槽 $AB$ 的中点, 短杆 $ON$ 可绕 $O$ 转动, 长杆 $MN$ 通过 $N$ 处较链与 $ON$ 连接, $MN$ 上的栓子 $D$ 可沿滑槽 $AB$ 滑动, 且 $DN=ON=1, MN=3$ . 当栓子 $D$ 在滑槽 $AB$ 内作往复运动时, 带动 $N$ 绕 $O$ 转动一周( $D$ 不动时, $N$ 也不动) $M$ 处的笔尖画出的曲线记为 $C$ . 以 $O$ 为原点, $AB$ 所在的直线为轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系