综合的射影几何学的复兴

蒙日和学生主要搞射影几何学，17世纪射影几何曾经短暂活跃过，但后来大家去搞解析几何、微积分和分析学了，之前说到笛沙格1639年搞的工作到1845年才为人所知，而帕斯卡1639年关于圆锥曲线的论文不知所踪，大家只能找到La Hire的书，其中采用了笛沙格的某些结果。由于19世纪的数学家不清楚笛沙格和帕斯卡的工作，他们误把La Hire书中的成果归功于La Hire本人。

卡诺(Lazare N.M. Carnot,1753-1823)开启了射影几何的复兴，他是蒙日的学生，儿子是物理学家萨迪卡诺（搞卡诺循环的）。蒙日赞成联合使用解析几何与纯粹几何，但卡诺拒绝使用解析方法，开始在纯粹几何学奋斗。他提出了很多想法，比如蒙日称为偶然关系的原理（又称相关原理或连续性原理）。卡诺为了避免对不同大小的角和不同方向的直线使用不同的图，又不想用他认为存在矛盾的负数，于是引进了一套复杂的图表，称为“正负号的对应”。

布里昂雄定理

彭赛列(1788-1867)主要推动了射影几何的复兴，他是蒙日的学生，也向卡诺学习了很多，1812年作为工程中尉参加拿破仑侵俄战争被俘，1813-1814年关押于俄国监狱，期间彭赛列在无书可看的情况下重作了他向蒙日和卡诺学习的知识并创造了新的成果。1822年他修订了这个工作，发表了《论图形的射影性质》，这是他在射影几何学的主要贡献。后来彭赛列忙着搞政府事务去了。
彭赛列是综合几何学的忠实支持者，甚至攻击分析学家，他曾经跟分析学家热尔岗关系很好，但后来也攻击了热尔岗，他深信纯粹几何的独立性和重要性，认为综合几何学也能像分析几何一样有威力，1818年他在热尔岗的《数学纪事》上发文说，解析法的威力不在于代数，而是它具有普遍性，其原因是从一个典型图像发现的度量性质对该图形派生出的所有图形都适用，顶多改变下正负号，这种普遍性可以由综合几何学的连续性原理保证。
彭赛列第一个认识到射影几何具有独特方法和目标，17世纪射影学家讨论特殊问题，而彭赛列考虑的是一般问题，探索几何图形任一投影的所有截影所共有的性质(在投影和截影下保持不变的性质)。距离和角度在投影和截影下发生改变，所以彭赛列选择并发展了对合与调和点列的理论，而不是交比的概念。蒙日使用平行投影，而彭赛列和笛沙格、帕斯卡、牛顿、Lambert（书上写Lambert，有个版本说是Johann Heinrich Lambert)一样用中心投影（从一个点投影），他把这个概念作为研究几何问题的方法。彭赛列也用纯几何方式考虑了从一个空间图形到另一个空间图形的射影变换，不过他没有表现出对射影性质的兴趣，更关心方法的运用。

彭赛列的工作以三个思想为中心：1、透射的图形，如果一个图形能从另一图形经一次投影与截影（称为透视对应）或一连串投影与截影（称为射影对应）得出，则两个图形是透射的。他的作法是对一个给定图形，找一个比较简单的透射图形，研究这个透射图形，找出在投影与截影下的不变性质。笛沙格和帕斯卡实质上也用过该方法，彭赛列称赞过笛沙格的创见。

2、连续性原理。他认为如果一个图形从另一图形经连续变换得出，且两者“一样的一般”，则第二个图形具有第一个图形的任何性质。但他没解释怎样判定两个图形都是一般的。彭赛列原理也断定，若一个图形退化了（如六边形一边趋于0退化成五边形），则原来图形的任何性质会转化成退化图形的适当措辞的命题。这不算彭赛列新的想法，1687年莱布尼茨说当两件事的已知条件的差别变得任意小时，其结果的差别也变得小于任意给定量，自此这个原理一直得到认可和运用。蒙日开始用连续性原理来论证定理，他想证明一个普遍定理，却采用了图形的一个特殊位置论证，然后声称定理普遍成立，甚至图形某些元素变成虚的也成立，比如证明线与曲面的定理时，他在线与曲面相交时证明，再声称即使线与曲面不相交（交点变成虚的）结论也成立，此外蒙日和卡诺用了这个原理，都没有给出定理的根据。
彭赛列制造了“连续性原理”的术语，把它抬高到绝对真理，并进行了大胆的运用。为了论证可靠性，他以圆的相交弦的两段之积相等为例，说当交点移到圆外时，有割线与其圆外段之积相等。当一条割线变成切线时，切线与其圆外段相等，积仍等于另一条割线与其圆外段的积。虽然这个例子没问题，但彭赛列到处用这个原理证其它定理，而且像蒙日一样用在虚的图形。
其他巴黎科学院的数学家批评连续性原理，说只具有启发性意义，柯西也批评了这一原理，遗憾的是他批评了彭赛列上段中的应用，但原理在那种情况下是成立的。批评者指出彭赛列的信心其实来自于代数上的依据，他在狱中的笔记表明他用分析法验证了原理的可靠性（真够作的，自己用了还批评别人用）。彭赛列嘴硬说这原理并不依赖于一个代数证明。
沙勒为彭赛列辩护说，代数证明不过是一个溯源性的证明（反正是通过几何得到的结论）。他也指出用连续性原理要小心，不要把本质上依赖于元素虚实的性质从一个图形转移到另一图形，比如圆锥的一个截口可能是双曲线，因而才有渐近线，当截口是椭圆时渐近线变成虚的，因此不应证明一个跟渐近线有关的结果，因为渐近线依赖于截口类型，也不应把抛物线结果转移到双曲线上，因为抛物线的截割平面不在一般位置。接着他讨论了有公共弦的两个相交圆，当两圆不相交则没有公共弦，他说实公共弦通过两个实点是一种偶然的性质，必须以任意位置的两个圆都恒有的性质来定义这条弦，例如定义它为（实的）根轴，这条线上任何点到两个圆的切线长都相等，或者以这条线上任何点为圆心能画一个圆与两个圆垂直相交来定义。
沙勒坚决主张连续性原理适用于几何虚元素，他解释虚元素是图形的某一种状态中某些不存在的成分，而在另一状态中这些成分是实的。要证明关于虚元素的结果，需取图形的一般位置，其中该元素是实的，然后依据偶然关系原理或连续性原理推断该元素虚时结果也成立。19世纪时连续性原理被认为是直观明显的，因而具有公理地位，几何学家也随便用，认为不需要证明。
虽然彭赛列用连续性原理断定虚点和虚线的结果，但他未给出这些元素的一般定义，为了引进某些虚点，他给了复杂的、不清晰的几何意义，还是用代数观点讨论这些元素比较方便。虽然彭赛列缺乏清晰性，但他引入了圆上无穷远点的概念：任何两个圆共有的、位于无穷远直线上的两个虚点，他还引入了任两球面共有的球上无穷远圆。他证明，两条不相交的实圆锥曲线有两条虚的公共弦，两条圆锥曲线交于四个或实或虚的点。

3、圆锥曲线的极点与极线。阿波罗尼奥斯发明了这个概念，17世纪笛沙格等人用过这一个概念，欧拉、勒让德、蒙日、塞尔沃斯、布里昂雄也用过。但彭赛列给出了从极点到极线、从极线到极点变换的一般表述，并用来建立配极理论的许多定理。他研究圆锥曲线的配极是为了建立对偶原理，射影几何学家发现涉及平面图形的定理，如果把点换成线，线换成点，竟然也讲得通，这是为啥呢？彭赛列认为原因是配极关系。但这个配极关系需要一个圆锥曲线为中介，热尔岗认为对偶原理是普遍原理，适用于除了涉及度量性质的其它陈述和定理，极点和极线是不必要的中间支撑物。他引入对偶性的术语来表示原定理和新定理之间的关系，还注意到三维情形中点与面是对偶元素，而线与线对偶。