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一、引子

例. 假设银行的利息率与存钱时间成正比，即 $n=\lambda t$ ，问将钱存入银行时间 $T$ 后获得的利息率最大为多少。

如果直接存 $T$ 时间，那么利息率为 $\lambda T$ 。但是如果先存一段时间，取出来，将本金与利息再存入银行，最后得到的总利息率会不会高呢？

假设总共存 $m$ 次，则总利息率为 $n=f(m)=(1+\lambda T/m)^m-1$ 。画出图像为：

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观察到增大时，增大，但是并不能任意增大，似乎有一个上界，大约是。但是是没有最大值的，因为如果为最大值，那么为更大的数，这是矛盾的。这就导致了一个问题，从图像上可以看出有一个约为的上阶，但是却没有最大值，也就是说，似乎没有办法准确地求出这个上界。要解决这个问题，必须使用极限的思想，也就是让。

类似的例子有很多，比如函数 $f(x)=x^x$ 。 $f(0)$ 是没有定义的，但是当 $x\rightarrow0$ 的时候， $f(x)\rightarrow1$ ，如图：

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这就启发我们，研究函数的时候，光研究定义域内的点是不行的，有时候定义域外的点也有研究价值。这就需要极限。

二、极限的定义

明白了极限的意义后，就需要对极限有一个数学上严格的定义，因为光靠感觉定义出来的东西是不严谨的，必须用数学化的语言去定义。下面是极限的标准定义：

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心领域 $I$ 上有定义，如果 $c$ 满足，对于任意给定正数 $\delta$ ，均存在正数 $\varepsilon$ ，使得对于任意 $x$ 满足 $0<|x-x_0|<\varepsilon$ ，均有 $|f(x)-c|<\delta$ ，则称 $f(x)$ 在 $x\rightarrow x_0$ 的极限为 $c$ ，记作 $\lim_{x\rightarrow x_0}{f(x)}=c$

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心领域 $I$ 上有定义，如果 $c$ 满足，对于任意给定 $\delta$ ，均存在 $\varepsilon$ ，使得对于任意 $x$ 满足 $0<x-x_0<\varepsilon$ ，均有 $|f(x)-c|<\delta$ ，则称 $f(x)$ 在 $x\rightarrow x_0$ 的右极限为 $c$ ，记作 $\lim_{{x\rightarrow x_0}^+}{f(x)}=c$

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心领域 $I$ 上有定义，如果 $c$ 满足，对于任意给定 $\delta$ ，均存在 $\varepsilon$ ，使得对于任意 $x$ 满足 $0<x_0-x<\varepsilon$ ，均有 $|f(x)-c|<\delta$ ，则称 $f(x)$ 在 $x\rightarrow x_0$ 的左极限为 $c$ ，记作 $\lim_{{x\rightarrow x_0}^-}{f(x)}=c$

如果直接研究这三个定义，可能会比较吃力。现在我用通俗的语言解释着三个定义。在第一个定义中， $x_0$ 和 $c$ 都类似于基准点，而 $\varepsilon$ 和 $\delta$ 都类似于精度。这个定义的意思是，给定任何一个需要达到的精度 $\delta$ (即 $f(x)$ 与 $c$ 的差的绝对值)，都能找到一个 $\varepsilon$ ，使得在 $x_0$ 左右这么小的范围内， $f(x)$ 均在 $\delta$ 精度内。也就是说，当不断缩小 $f(x)$ 的范围的时候，总能通过缩小 $x$ 的范围，使得 $f(x)$ 落在给定的范围内。不难发现，这个定义非常严谨，同时也能准确地表示出极限本身的含义。

后面两个定义是对第一个定义的补充，因为有时候 $x$ 从两边接近 $x_0$ 时， $f(x)$ 的极限时不一样的，因此需要规定左极限和右极限。

如果函数在一个点的左极限与右极限不相等，那么函数在这个点上极限不存在。

如果函数在一个点趋近于正无穷大(或负无穷大)，那么函数在这个点的极限不存在，但是在本教程中写作极限为正无穷大(或负无穷大)。

例1 证明：（1） $\lim_{x\rightarrow1}x=1$ （2） $lim_{x\rightarrow1}{x^2}=1$ （3） $\lim_{x\rightarrow1}\frac1x=1$

在做这题时，很有可能陷入一个陷阱：如果一个点在定义域内，那么这个点点极限就是函数值。

但是事实上，极限不一定等于函数值。举个例子： $f(x)=\left\{\begin{matrix} 1,&x\ne0 \\ 0,&x=0 \end{matrix}\right.$ 求 $\lim_{x\rightarrow0}{f(x)}$ 。你用直觉判断就会发现，当 $x$ 从两边趋近 $0$ 的时候，函数值始终是 $1$ ，那么极限应该为 $1$ 。因此，极限并不一定等于函数值。

回到这道例题，要求极限，还是得从定义出发。

在第一题中，对于任意给定的正数 $\delta$ ，令 $\varepsilon=\delta$ ，显然，对于 $0<|x-1|<\delta$ ，均有 $|y-1|=|x-1|<\delta$ ，因此 $\lim_{x\rightarrow1}{f(x)}=1$ 。

在第二题中，对于 $0<|x-1|<\varepsilon$ ，有 $|y-1|=|x^2-1|<\max\{\varepsilon^2+2\varepsilon,-\varepsilon^2+2\varepsilon\}=\varepsilon^2+2\varepsilon$ 。因此，只须令 $\varepsilon^2+2\varepsilon\le\delta$ 即可。显然对于任意正数 $\delta$ ，存在这样的 $\varepsilon$ ，因此 $\lim_{x\rightarrow1}{f(x)}=1$ 。

在第三题中，对于 $0<|x-1|<\varepsilon$ ， $|y-1|=|\frac1x-1|=|x-1|/|x|<\varepsilon/(1-\varepsilon)$ ，故只须令 $\varepsilon/(1-\varepsilon)\le\delta$ 即可。显然，对于任意正数 $\delta$ ，均存在这样的 $\varepsilon$ ，因此 $\lim_{x\rightarrow1}{f(x)}=1$ 。

例2 证明：函数 $f(x)=\sin\frac1x$ 在 $x\rightarrow0$ 不存在极限。

可以使用反正加以证明：假设 $\lim_{x\rightarrow0}{f(x)}=c$ 。

根据极限的定义，对于任意正数 $\delta$ ，都存在正数 $\varepsilon$ ，使得对于任意 $x$ 满足 $0<|x|<\varepsilon$ ，均有 $|\sin\frac1x-c|<\delta$ 。

如果 $|c|>1$ ，那么令 $\delta=|c|-1$ 即可矛盾( $\sin x$ 的值域为 $[-1,1]$ )

由于 $\delta$ 是任意的，令 $\delta=|c|$ ，则 $\sin\frac1x$ 不能取 $0$ ，即 $\frac1x$ 不能取 $k\pi$ ， $x$ 不能取 $1/k\pi$ 。

然而，对于任意 $\varepsilon$ ，在 $(0,\varepsilon)$ 这个区间里总能取到 $1/k\pi$ ，因此矛盾。

故假设不成立，极限不存在。

上面用严谨的过程证明了极限的不存在，但实际上只需要感受一下， $1/x$ 在 $x\rightarrow0$ 的时候可以取任意终边， $\sin\frac1x$ 没有稳定的值，因此没有极限。图像如图：

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三、复合法求极限

从这一节开始，我们正式学习极限的求法。

事实证明，用定义求极限是不可能的(定义只能证明极限)。
事实也证明，极限是没有通解的，给出一个式子不一定能求出极限。

如果你不信，那么请你求一下 $\lim_{x\rightarrow+\infty}{(1+1/x)^x}$ 。

虽然没有通解，但是还是有章可循的。下面介绍我自己归纳的第一种方法：复合法。

复合法的意思就是，将函数拆为复合函数，对处在自变量位置的函数求极限，再依次往回带，即可得出极限。这种方法针对简单的求极限。

例1 求 $\lim_{x\rightarrow+\infty}{1/(2+\frac1x)}$

首先， $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac1x=0$ 。代入可知， $\lim_{x\rightarrow+\infty}{1/(2+\frac1x)}=1/2$ 。

这种方法只适用于极其简单的极限，本身也没有什么障碍，其实就是将 $x$ 全部代掉，没有什么难度，就不再赘述了。

四、取首项法求极限

取首项法求极限只针对多项式比多项式型函数在无穷大处的极限。

例1 求 $\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{x^2-x+1}{x^2+x+2}}$ 、 $\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{x+1}{x^2-x-1}}$ 、 $\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{x^2+2x+3}{x-1}}$

对于第一个极限，分子分母只保留首项，即 $\lim=x^2/x^2=1$ (这里省略极限的表达式，应该能看懂意思)

对于第二个极限，分子分母只保留首项，即 $\lim=x/x^2=0$

对于第三个极限，分子分母只保留首项，即 $\lim=x^2/x=+\infty$

事实上，取首项法也可以理解为，如果分子分母次数相同，那么结果为首项系数的比；如果分子比分母次数大，结果为 $+\infty$ ；如果分子比分母次数小，结果为 $0$ 。

五、等价法求极限

这种方法最为常见，也最为普适，主要用于求 $\frac00$ 型极限。

可能大家都学过物理，应该知道如果 $x$ 是小量， $\sin x$ 可以近似为 $x$ 。

这个东西表述为极限就是 $\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\sin x}x}=1$ 。

因此，在求极限的时候，可以考虑用 $x$ 替换 $\sin x$ (前提是 $x\rightarrow0$ )

例1 求 $\lim_{{x\rightarrow0}^+}{\frac{x^{\sin x}}{\sin^x x}}$

这里求的是右极限，因为 $x<0$ 的定义是不完整的。

用 $\sin x$ 替换 $x$ 就得到， $\lim=x^x/x^x=1$

例2 求 $\lim_{x\rightarrow0}{\frac{1-\cos x}{x^2}}$

做极限题首先先观察能不能直接代入，也就是使用复合法。这里发现直接代入得到 $\frac00$ ，因此复合法不能用。

那么使用等价法行不行呢？ $\cos x$ 不难想到 $\sin x$ ，只需要用一个二倍角公式即可。

$\lim=\frac{2\sin^2{x/2}}{x^2}=\frac{2(x/2)^2}{x^2}=1/2$

上面两道例题都是把 $\sin x$ 替换为 $x$ 得到了答案。下面再介绍几个等价的小量。

$\sin x$ 等价于 $x$ ，这个很简单，就不证明了。
$\tan x$ 等价于 $x$ ，这个和 $\sin x$ 差不多，也不证明了。
$e^x-1$ 等价于 $x$ ，这个在讲到 $e$ 的时候会证明，先记住。
$\ln{(x+1)}$ 等价于 $x$ ，这个在讲到 $e$ 的时候会证明，先记住。

例3 求 $\lim_{x\rightarrow0}{\frac{e^{\sin x}-\sec x}{\ln{(x+\cos x)}}}$

这题看起来复杂，其实只需要用等价法代换即可。

首先，分子上 $e$ 的指数 $\sin x$ 代为 $x$ ， $\sec x$ 直接代 $1$ 。

然后，分母上 $\cos x$ 代 $1$ 。

则极限化为 $\lim_{x\rightarrow0}{\frac{e^x-1}{\ln{(x+1)}}}=x/x=1$

注意，等价法不是所有极限都能适用的，如果用转化法发现得出分子、分母都为 $0$ ，那么转换法就不适用这一极限，千万不能因为发现分子为 $0$ 就认定极限为 $0$

六、公式转换法

公式转换法相较于等价法更接近初等数学，因为不需要作任何近似，只需要用公式将分子分母的公因式约去，然后用复合法就可以解决问题。但是公式转换法有两个弊端，一是不普适，没有等价法适用范围广，二是技巧要求较高，不容易直接看出来。一般来说，公式转换法只会涉及二倍角公式，这里就举一个例子以便参考。

例1 求 $\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\sin{2x}}{\sin x}}$ 、 $\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\sin{3x}}{\sin x}}$
$\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\sin{2x}}{\sin x}}=\frac{2\sin x\cos x}{\sin x}=2\cos x=2$$$$\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\sin{3x}}{\sin x}}=\frac{3\sin x-4\sin^3 x}{\sin x}=3-4\sin^2 x=3$

七、夹逼定理

夹逼定理的原文就不表述了，主要就是在求 $f(x)$ 在 $x\rightarrow x_0$ 的极限时，可以找函数 $g(x)$ 、 $h(x)$ ，使得 $g(x)\le f(x)\le h(x)$ ，并且 $\lim_{x\rightarrow x_0}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}{h(x)}=c$ ，则 $\lim_{x\rightarrow x_0}{f(x)}=c$ 。

运用夹逼定理可以证明 $\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\sin x}x}=1$ ，读者可以自行尝试。

八、洛必达法则、泰勒级数法

这两种方法涉及求导，我们会在下一章中学习。

九、函数的连续性

在初中，我们学过许多连续的函数，例如一次函数、二次函数、反比例函数(在每一象限连续)。在高中也学了许多连续函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。上面提到的这些函数都是初等函数。我们会发现，初等函数都是连续的。

不过你是否思考过连续的定义是什么？如何判断一个函数是否连续？一个直观的方法就是画图像。但是画图像并不轻松(除非适用画图像的软件)。那么能不能用代数方法判断函数的连续性呢？

答案是肯定的。

在第二节中，我们介绍了左极限、右极限，还强调了极限不一定等于函数值。然而我们进一步思考就会发现，极限不等于函数值一定是在函数不连续的情况下成立的。如果函数连续，极限必然等于函数值。因此，可以通过极限与函数值来判定函数在某一点是否连续。

一般地，如果函数在某一点的极限存在，且该点的极限等于函数值，那么函数在这一点上连续。反之，亦然。

例1 已知函数 $f(x)=x\sin{\frac1x}(x\ne0)$ ，并补充定义 $f(0)=0$ 。证明：函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。

要证明连续，只须求出极限 $\lim_{x\rightarrow0}{x\sin\frac1x}$ 。

考虑使用夹逼定理。 $-|x|\le x\sin\frac1x\le |x|$ ，因此 $\lim_{x\rightarrow0}{x\sin\frac1x}=0=f(0)$ 。

所以该函数在 $x=0$ 处连续。画出图像：

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十、高阶无穷小

在第五节中我们学习了等价法，将 $\sin x$ 等价为 $x$ 。能进行这个操作的原因是 $\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\sin x}x}=1$ 。

也就是说，如果 $\lim_{x\rightarrow0}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow0}{g(x)}=0$ 且 $\lim_{x\rightarrow0}{\frac{g(x)}{f(x)}}=1$ ，那么 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是可以互相替换的，我们称 $g(x)$ 为 $f(x)$ 的等阶无穷小。

但是如果 $\lim_{x\rightarrow0}{\frac{g(x)}{f(x)}}=0$ ，那么称 $g(x)$ 为 $f(x)$ 的高阶无穷小，记作 $g(x)=o[f(x)]$ 。例如 $x^2$ 是 $x$ 的高阶无穷小。

很多时候，当我们尝试用等价法做题时，会发现分子分母均为某函数的高阶无穷小，例如求 $\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\sin x-x}{x^3}}$ ，分母显然是 $x$ 的高阶无穷小，其实分子也是 $x$ 的高阶无穷小，因为 $\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\sin x-x}x}=0$ 。如果遇到了高阶无穷小比高阶无穷小的题，一定是参照的函数选错了。尝试选取更高阶的函数为参照，例如在上题选 $x^3$ 为参照，将 $\sin x-x$ 尝试转化成更高的阶。下面就用这个思想解决这道题。

设 $\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\sin x-x}{x^3}}=c$ ，使用三倍角公式可知 $c=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{3\sin\frac x3-4\sin^3\frac x3}{x^3}}=\frac19\cdot\frac{\sin\frac x3}{\left(\frac x3\right)^3}-\frac4{27}\cdot\left(\frac{\sin\frac x3}{\frac x3}\right)^3=c/9-4/27$ 因此， $27c=3c-4\Rightarrow c=-1/6$

虽然这种解法非常巧妙，建立了一个方程，解出了极限，但是这种方法并不值得推荐，这道题使用泰勒级数法或者洛必达法则可以秒杀。

十一、总结

本章学习了极限的意义、极限的定义、极限的五种求法以及极限的应用。本章的核心点便为极限的五种求法，分别是复合法、取首项法、等价法、公式转换法、夹逼定理、高阶无穷小思想。还有两种方法：洛必达法则、泰勒级数法，将会在求导章节讲解。

十二、习题

习题1 求证： $\lim_{x\rightarrow1}{x^2+x+1}=3$

习题2 求 $\lim_{x\rightarrow0}{\frac{e^{2x}-\cos{x}}{\ln{(3x+1)}+\sin x}}$

习题3 求证： $\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\sin x}x}=1$

十三、习题答案

习题1 对于 $0<|x-1|<\varepsilon$ ，均有 $|y-1|=|x^2+x-2|\le\varepsilon^2+3\varepsilon$ 。故对于任意正数 $\delta$ ，令 $\varepsilon^2+3\varepsilon\le\delta$ 即可。

习题2 将分母的 $\cos x$ 使用二倍角公式展开得 $1-2\sin^2{(x/2)}$ ，因此 $\lim =\frac{e^{2x}-1+2\sin^2{\frac x2}}{3x+x}=\frac{2x+x^2/2}{4x}=1/2$

习题3 考虑使用夹逼定理。显然， $\frac{\sin x}x<1$ 。因为 $\frac{\tan x}x>1$ ，所以 $\frac{\sin x}x>\cos x$ 。因此 $\cos x<\frac{\sin x}x<1$ ，故 ${\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\sin x}x}}=1$ 。