完备的距离空间

来源背景

Cauchy列

在全体有理数组成的距离空间中，Cauchy列不一定收敛。
在全体实数组成的距离空间中，Cauchy列一定收敛。
Cauchy列一定收敛，反映了实数空间的完备性。

我们将把这个性质“类比”地推广到一般的距离空间。

一个点列 $\left\{{x_n}\right\}$ 是否收敛，除了点列自身的构造性质以外（越接近收敛点时点越密集，用 $\varepsilon-\delta$ 语言刻画出来的，比如点列是个Cauchy列），还和空间的结构（如空间是否完备）有很大关系。

注：空间中的Cauchy列可能不收敛，问题在于这个空间存在“缺陷”，或者说距离空间中有一些“缝隙”。

类似于实数空间，在距离空间，我们也引进Cauchy列、完备性这些概念。

定义2：设 $(X，d)$ 是一个距离空间， $\left\{{x_n}\right\}_{n=1}^{\infty} \subset (X,d)$ ，若对于任意的 $\varepsilon > 0$ ，存在正整数 $N$ ，当 $m,n \geqslant N$ 时，有
$d(x_n,x_m) < \varepsilon$
称 $\left\{{x_n}\right\}$ 是一个 $Cauchy$ 列。

定义5：若距离空间 $(X，d)$ 中的任意Cauchy列都收敛，则称距离空间 $X$ 是完备的。

注1：完备性是十分重要的，有了完备性，极限运算（微积分）才能很好的进行。在一个完备的距离空间，要判断一个点列是否收敛，仅仅要判断它是否是Cauchy列。

注2：距离空间中距离的定义不同，完备性将不同。

距离空间的完备化

任何一个不完备的距离空间都可以对其完备化。

设 $(X，d)$ 是完备距离空间， $(X_0，d)\subset (X,d)$ 是一子空间。

如果 $X_0$ 在 $(X，d)$ 中是闭的，则 $(X_0，d)$ 是完备的。
如果 $X_0$ 不是闭集。我们知道 ${ \bar X_0}$ 在 $(X,d)$ 中是闭的，且是包含 $X_0$ 的最小闭集。
因此 $(X_0，d)$ 是完备的，且 $X_0$ 在 $(\bar X_0，d)$ 中稠密。

通俗的说，从 $(X_0，d)$ 到 ${ (\bar X_0，d)}$ 的过程，我们填满了原来在 $(X_0，d)$ 空间中存在的“缝隙”，使之成为一个完备空间。

等距映射：映射前后空间中元素之间的距离保持不变。

完备距离空间的性质

闭球套原理

压缩映射原理

不动点问题是数学研究中的重要问题之一，所谓一个映射 $T$ 的不动点是指： $T$ 把这个点映射为自身，即 $Tx =x$ 。

如果这个映射（函数/运算）足够好那么不断迭代就能找到不动点（问题的解）。

任何解方程问题都可以转化为求不动点的问题。

不动点定理是泛函分析中最基本的一个存在性定理。
分析中的许多存在性定理都是不动点定理的特例。
不动点理论已成为非线性泛函分析的重要内容之一

考虑微分方程的初值问题：
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{dx}}{{dt}} = f\left( {x,t} \right)} \\ {{{\left. x \right|}_{t = 0}} = {x_0}} \end{array}} \right.$