二叉树上
1.开篇思考题
二叉树有哪几种存储方式？什么样的二叉树适合用数组来存储？
2.二叉树
树的高度，深度，层数，高度从底到根量高，深度从根到底量高，层数从根到底，跟为第一层
叶子节点全都在最底层，除了叶子节点之外，每个节点都有左右两个子节点，这种二叉树就叫作满二叉树。
叶子节点都在最底下两层，最后一层的叶子节点都靠左排列，并且除了最后一层，其他层的节点个数都要达到最大，这种二叉树叫作完全二叉树。
3.二叉树存储
存储有两种方法，一种是基于指针或者引用的二叉链式存储法，一种是基于数组的顺序存储法。
4.基于数组的顺序存储法
从根开始顺序计数，跟为1，左2，右3，左左4，左右5，右左6，右右7…这个对于完全二叉树存储非常好，只浪费了一个空间。
找根:i节点的根是i/2;
找左右子树:i节点左2*i，右2*i+1
5.二叉树遍历
三种，前序遍历、中序遍历和后序遍历。
i.前序遍历的递推公式：
preOrder(r)=print r->preOrder(r->left)->
preOrder(r->right)
ii.中序遍历的递推公式：
inOrder(r) = inOrder(r->left)->print r->
inOrder(r->right)
iii.后序遍历的递推公式：
postOrder(r)=postOrder(r->left)->
postOrder(r->right)->print r
代码一:
void preOrder(Node* root) {
if (root == null) return;
print root // 此处为伪代码，表示打印 root 节点
preOrder(root->left);
preOrder(root->right);
}
代码二:
void inOrder(Node* root) {
if (root == null) return;
inOrder(root->left);
print root // 此处为伪代码，表示打印 root 节点
inOrder(root->right);
}
代码三:
void postOrder(Node* root) {
if (root == null) return;
postOrder(root->left);
postOrder(root->right);
print root // 此处为伪代码，表示打印 root 节点
}
6.课后题
一组数字n个可以有多少种二叉树
n!*c[n,2n]/(n+1)
层次遍历如何实现
借用队列，因为每一层顺序固定，先入先出，所以一层层进入(故队空按层进入)，一层层出去(队不空全出)，如根进队，不空根出，对空左存在左进，右存在右进，然后左右出队，直到队空
注:为实现层层进入，层层出去，故队空入，队不空全出，一直到队空，重复操作
二叉树下
1.开篇思考题
二叉树最大特点，支持动态数据数据集合快速插入，删除，查找操作，这些操作散列表实现更好，为何还用树呢
2.二分查找树
i.二分查找
public class BinarySearchTree {
private Node tree;
public Node find(int data) {
Node p = tree;
while (p != null) {
if (data < p.data) p = p.left;
else if (data > p.data) p = p.right;
else return p;
}
return null;
}
public static class Node {
private int data;
private Node left;
private Node right;
public Node(int data) {
this.data = data;
}
}
}
注:查找过程非常类似二分查找过程，只是两个不同，起点不同，终点不同，但中间执行是一样的
ii.插入操作
public void insert(int data) {
if (tree == null) {
tree = new Node(data);
return;
}
Node p = tree;
while (p != null) {
if (data > p.data) {
if (p.right == null) {
p.right = new Node(data);
return;
}
p = p.right;
} else { // data < p.data
if (p.left == null) {
p.left = new Node(data);
return;
}
p = p.left;
}
}
}
注:插入就只有二分操作，不用判等，小左，大右而已，还是在二分查找基础上改进的
iii.删除操作
public void delete(int data) {
Node p = tree; // p 指向要删除的节点，初始化指向根节点
Node pp = null; // pp 记录的是 p 的父节点
while (p != null && p.data != data) {
pp = p;
if (data > p.data) p = p.right;
else p = p.left;
}
if (p == null) return; // 没有找到
// 要删除的节点有两个子节点
if (p.left != null && p.right != null) { // 查找右子树中最小节点
Node minP = p.right;
Node minPP = p; // minPP 表示 minP 的父节点
while (minP.left != null) {
minPP = minP;
minP = minP.left;
}
p.data = minP.data; // 将 minP 的数据替换到 p 中
p = minP; // 下面就变成了删除 minP 了
pp = minPP;
}
// 删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点
Node child; // p 的子节点
if (p.left != null) child = p.left;
else if (p.right != null) child = p.right;
else child = null;
if (pp == null) tree = child; // 删除的是根节点
else if (pp.left == p) pp.left = child;
else pp.right = child;
}
注:删除操作三种情况，一是叶子节点直接删除，二是单支节点用父节点直接指向孙节点，三是双支节点，做到右节点最左边节点替代本节点，再删除最左节点
3.其他操作
i.除了插入、删除、查找操作之外，二叉查找树中还可以支持快速地查找最大节点和最小节点、前驱节点和后继节点。
ii.还有一个重要的特性，就是中序遍历二叉查找树，可以输出有序的数据序列，时间复杂度是 O(n)，非常高效
iii.支持重复数据的二叉查找树，两种处理方法。
一是每一个节点不仅存一个数据，通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构，把值相同的数据都存储在同一个节点上。
二是每个节点仍然只存储一个数据，在查找插入位置的过程中，如果碰到一个节点数据的值相同，把这个新插入的数据当作大于这个节点的值来处理。当要查找数据的时候，遇到值相同的节点，并不停止，而是继续在右子树中查找，直到遇到叶子节点才停止。这样就可以把键值等于要查找值的所有节点都找出来。
4.性能分析
不管操作是插入、删除还是查找，时间复杂度其实都跟树的高度成正比，也就是 O(height)，故平衡二叉查找树必要性就来了，平衡二叉查找树的高度接近 logn，所以插入、删除、查找操作的时间复杂度也比较稳定，是 O(logn)。
5.开篇解答
第一，散列表中的数据是无序存储的，如果要输出有序的数据，需要先进行排序。
第二，散列表扩容耗时很多，而且当遇到散列冲突时，性能不稳定，尽管二叉查找树的性能不稳定，但是在工程中，最常用的平衡二叉查找树的性能非常稳定，时间复杂度稳定在 O(logn)。
第三，散列表的查找等操作的时间复杂度是常量级的，但因为哈希冲突的存在，实际的查找速度可能不一定比 O(logn) 快。
第四，散列表的构造比二叉查找树要复杂，需要考虑的东西很多。比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题，而且这个问题的解决方案比较成熟、固定。
6.课后题
如何求一个树的高度
一是深度优先遍历算法，选择左右高度最大值+1
lc104
二是层次遍历，每一层结束时，高度+1
lc450
