在一些大型购物网站，我们常会看到一个功能叫“猜你喜欢”（或其它类似的名字），里面列出一些跟你买过商品相关的其它商品。网站的用户越多，或你在网站上购买的东西越多，它往往就猜的越准。在一些音乐网站、书评网站、电影网站也有类似的推荐系统，比如豆瓣上的“豆瓣猜”、百度音乐的“为你推荐”等，推荐结果都不错。
这些推荐系统的具体实现我们无法知晓，但原理是类似的，都是采用基于协同过滤的推荐机制。这里我们探讨一下这个推荐机制的原理。
举例
下图是一个用户对课程评分表。评分从1星到5星，灰色表示该用户没有对该课程评分。由图可知，用户3没有学过《面向对象基础》和《Struts开发框架》。问，如果要给用户3推荐其中一门课程，应该推荐哪一门？
基本概念
相似度
如果一个用户喜欢一种物品，那么他很可能也喜欢类似的物品。如果我们找到了测量物品之间相似程度的方法，也就解决了推荐系统的核心问题。
那如何找出这些方法呢？比如，啤酒与芝麻酱更相似还是与纸尿裤更相似？怎么知道啤酒和纸尿布的相似度是多少？
解决这个问题之前，不妨先考虑一个简单的问题。假设平面上有3个点，坐标分别是A(1,2)、B(1,3)和C(4,7)，如图：
AB的距离＝
BC的距离＝
很显然B与A的距离小于B与C的距离，换句话说B与A更接近(相似)。
这种用根方差计算出来的距离叫欧式距离，欧式距离可以扩展到多维空间。大于3维的空间我们想象不出来，但是算法是一样的。
如果我们有下面的数据
那么通过用欧式距离公式可知：
《机器学习》与《python编程》的距离＝
为了便于理解和比较，一般将相似度的值设在0到1之间，用欧式距离d得出的相似度可以表示为:
除了用欧式距离计算相似度外，常用的方法还有皮尔逊相关系数(Pearson correlation)和余玄相似度(cosine similarity).
下面是一段python代码，实现了基于欧式距离的相似度计算
``` python
from numpy import *
from numpy import linalg as la
def eSim(A,B):
return 1.0/(1.0+la.norm(A-B))
```
再添加一个加载数据的方法。该方法返回一个二维数组，表示用户对课程的评价值。
``` python
def loadData():
return[[5, 3, 0, 2, 2],
[4, 0, 0, 3, 3],
[5, 0, 0, 1, 1],
[1, 1, 1, 2, 0],
[2, 2, 2, 0, 0],
[1, 1, 1, 0, 0],
[5, 5, 5, 0, 0]]
```
推荐引擎 － 给用户推荐最喜欢的课程
目的：给定一个用户，程序返回N个该用户最喜欢的课程
步骤
* 查询用户没有评级的课程, 即矩阵中的0元素
* 在用户没有评级的所有课程中，对每个课程预测一个评级分数
* 评分从高到底排序, 返回前N个课程
推荐引擎需要一个对课程评估分值的函数
``` python
'''
函数功能：在给定相似度计算方法的条件下，估计该用户对课程的评分值
input
ds: 评价矩阵
userIdx: 用户编号
simFunc: 相似度计算方法
courseIdx: 课程编号
output
编号为courseIdx的课程对应的估计分值
'''
def standEst(ds, userIdx, simFunc, courseIdx):
n = shape(ds)[1] #课程数量
simTotal = 0.0; ratSimTotal = 0.0
#遍历所有课程
for j in range(n):
userRating = ds[userIdx,j] #用户对第j个课程的评价
if userRating == 0: continue #用户没有对该课程评分，跳过
#寻找两个用户都评级的课程
overLap = nonzero(logical_and(ds[:,courseIdx].A>0, ds[:,j].A>0))[0]
#如果两个课程(courseIdx和j)没有共同评价人，则相似度＝0
if len(overLap) == 0: similarity = 0
#否则，计算相似度
else: similarity = simFunc(ds[overLap,courseIdx], ds[overLap,j])
#总相似度(相似度可以理解为权重)
simTotal += similarity
#相似度*评分的合计
ratSimTotal += similarity * userRating
if simTotal == 0: return 0
else: return ratSimTotal/simTotal #预计得分
```
推荐引擎代码
``` python
'''
推荐引擎: 给用户推荐N个最喜欢的课程
input
ds: 评价矩阵
userIdx:
N: 最高推荐N个结果
simFunc
estFunc
'''
def recommendCourses(ds, userIdx, N=3, simFunc=eSim, estFunc=standEst):
unratedCourses = nonzero(ds[userIdx,:].A==0)[1] #当前用户没有打分的课程
if len(unratedCourses) == 0: return '你已经学过所有课程'
courseScores = [] #课程分数列表
for courseIdx in unratedCourses:
estimatedScore = estFunc(ds, userIdx, simFunc, courseIdx)
courseScores.append((courseIdx, estimatedScore))
return sorted(courseScores, key=lambda jj: jj[1], reverse=True)[:N]
```
测试函数，给用户3推荐课程
``` python
def test():
dataMat = mat(loadData())
print recommendCourses(dataMat,2)
```
执行代码
``` bash
>>> import recommend
>>> recommend.test()
[(2, 3.6666666666666665), (1, 2.068764098505754)]
```
推荐结果：下标为2的课程（《Struts开发框架》）得分3.67星，下标为1的课程（《面向对象思想》）得分为2星。因此，判断用户更喜欢《Struts开发框架》。
从直观上也可以这样理解：用户4，5，6，7都对《Java编程》和《Struts开发框架》做了评价，而且评价相同。因此，《Struts开发框架》与《Java编程》属于非常相似的物品。 而用户3对《Java编程》评价极高（5星），故判断《Struts开发框架》也应该得高分（对于用户3而言）。
局限
* 计算量问题：这个算法需要对整个数据集进行多次复杂的计算，如果数据量很大，则性能可能无法接受。一种解决办法是对矩阵进行SVD分解，把高维度的矩阵转换成低维度度的矩阵。此外，采用离线计算，将相似度这个中间结果保存起来重复利用也可以提高性能。
* 冷启动问题：新课程加进来时，由于缺乏数据无法进行推荐。这个可以通过给课程打标签的方式进行。
