期望与方差之四：两个独立随机变量合并后的期望

随机变量（Random Variable）听起来是一个很复杂的概念，但是实际上并不难理解。我们重新回到本系列文章第一篇里面的数组：

0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3

把数据的频数和概率写成表格，有：

这里，概率 $P(X)$ 可以视作一个函数，输出一个概率，而变量X，只能从元素0,1,2,3之间选，因为它们是这个数据总体的四个可能值，比如 $P(2) = 0.3$ 。换句话说， $P(5)$ 是不存在的，因为5并不在这个数据总体之中。

概率函数

因此，我们称0,1,2,3为这个数据总体概率函数的随机变量。之所以称它们为“随机”，是因为当“从这个总体里随机抽一个数字”，总能在一定概率的情况下，抽到这四个数字之一；之所以称之为变量，是因为这些数字在概率函数 $P(X)$ 里有定义，可以理解为这个概率函数定义域范围内容的元素。

接下来，我们看看什么叫独立事件（Independent event）。直观上讲，两件不存在明显关联的事件，就是独立的。比如，A玩具店有m个玩具，与B餐馆有n道菜，如没有特殊说明，一般认为m个玩具各自的价格，与n道菜各自的价格，是没有关联的。如果真有那么一个无聊的统计，把玩具和菜式价格合并起来，我们可以这样表达：

设玩具店的m个玩具，每个玩具的单价为 $a_{i}$ ；餐馆n道菜的单价分别为 $b_{j}$ ；那么，随机组合一个玩具和一道菜，总价 $c_{i\times j} = a_{i} + b_{j}$ 。这就是两个独立变量的合并。

这里讨论一下 $c_{i \times j}$ 。因为任意一个玩具可以任意搭配一道菜，因此，总体C的数量为 $m \times n$ 。接下来，问题就是这个组合的均价是多少，或者说 $E(C)$ 是多少？这是本文关心的。根据上面推论，有：

$E(C) = E(A+B) = \frac{(a_{1} +b_{1}) + (a_{1} +b_{2}) + ...(a_{1} +b_{n}) + (a_{2} +b_{1}) ...}{m \times n }$

这个式子分子部分有 $m \times n$ 那么多个 $a_{i} + b_{j}$ ，怎样分配会更合理呢？留意到， $a_{1}$ 需要与 $b_{1}$ 到 $b_{n}$ 求和，因此必然有n个 $a_{1}$ 存在。同理， $a_{2}$ 到 $a_{m}$ 都有n个。至于B，每一个 $b_{j}$ 都有m个。因此，上式可调整为：