原文：http://blog.sina.com.cn/s/blog_818f5fde0102vvpy.html
在大大小小的面试过程中，多次被问及这个问题：“请说一下逻辑回归（LR）和支持向量机（SVM）之间的相同点和不同点”。第一次被问到这个问题的时候，含含糊糊地说了一些，大多不在点子上，后来被问得多了，慢慢也就理解得更清楚了，所以现在整理一下，希望对以后面试机器学习方向的同学有所帮助（至少可以瞎扯几句，而不至于哑口无言ha(*＾-＾*)）。
（1）为什么将LR和SVM放在一起来进行比较？
回答这个问题其实就是回答LR和SVM有什么相同点。
第一，LR和SVM都是分类算法。
看到这里很多人就不会认同了，因为在很大一部分人眼里，LR是回归算法。我是非常不赞同这一点的，因为我认为判断一个算法是分类还是回归算法的唯一标准就是样本label的类型，如果label是离散的，就是分类算法，如果label是连续的，就是回归算法。很明显，LR的训练数据的label是“0或者1”，当然是分类算法。其实这样不重要啦，暂且迁就我认为他是分类算法吧，再说了，SVM也可以回归用呢。
第二，如果不考虑核函数，LR和SVM都是线性分类算法，也就是说他们的分类决策面都是线性的。
这里要先说明一点，那就是LR也是可以用核函数的，至于为什么通常在SVM中运用核函数而不在LR中运用，后面讲到他们之间区别的时候会重点分析。总之，原始的LR和SVM都是线性分类器，这也是为什么通常没人问你决策树和LR什么区别，决策树和SVM什么区别，你说一个非线性分类器和一个线性分类器有什么区别？
第三，LR和SVM都是监督学习算法。
这个就不赘述什么是监督学习，什么是半监督学习，什么是非监督学习了。
第四，LR和SVM都是判别模型。
判别模型会生成一个表示P(Y|X)的判别函数（或预测模型），而生成模型先计算联合概率p(Y,X)然后通过贝叶斯公式转化为条件概率。简单来说，在计算判别模型时，不会计算联合概率，而在计算生成模型时，必须先计算联合概率。或者这样理解：生成算法尝试去找到底这个数据是怎么生成的（产生的），然后再对一个信号进行分类。基于你的生成假设，那么那个类别最有可能产生这个信号，这个信号就属于那个类别。判别模型不关心数据是怎么生成的，它只关心信号之间的差别，然后用差别来简单对给定的一个信号进行分类。常见的判别模型有：KNN、SVM、LR，常见的生成模型有：朴素贝叶斯，隐马尔可夫模型。当然，这也是为什么很少有人问你朴素贝叶斯和LR以及朴素贝叶斯和SVM有什么区别（哈哈，废话是不是太多）。
第五，LR和SVM在学术界和工业界都广为人知并且应用广泛。
讲完了LR和SVM的相同点，你是不是也认为有必要将他们进行比较一下了呢？而且比较LR和SVM，是不是比让你比较决策树和LR、决策树和SVM、朴素贝叶斯和LR、朴素贝叶斯和SVM更能考察你的功底呢？
（2）LR和SVM的不同。
第一，本质上是其loss function不同。
不同的loss function代表了不同的假设前提，也就代表了不同的分类原理，也就代表了一切！！！简单来说，逻辑回归方法基于概率理论，假设样本为1的概率可以用sigmoid函数来表示，然后通过极大似然估计的方法估计出参数的值，具体细节参考http://blog.csdn.net/pakko/article/details/37878837。支持向量机基于几何间隔最大化原理，认为存在最大几何间隔的分类面为最优分类面，具体细节参考http://blog.csdn.net/macyang/article/details/38782399
第二，支持向量机只考虑局部的边界线附近的点，而逻辑回归考虑全局（远离的点对边界线的确定也起作用）。
当你读完上面两个网址的内容，深入了解了LR和SVM的原理过后，会发现影响SVM决策面的样本点只有少数的结构支持向量，当在支持向量外添加或减少任何样本点对分类决策面没有任何影响；而在LR中，每个样本点都会影响决策面的结果。用下图进行说明：
理解了这一点，有可能你会问，然后呢？有什么用呢？有什么意义吗？对使用两种算法有什么帮助么？一句话回答：
因为上面的原因，得知：线性SVM不直接依赖于数据分布，分类平面不受一类点影响；LR则受所有数据点的影响，如果数据不同类别strongly unbalance，一般需要先对数据做balancing。（引自http://www.zhihu.com/question/26768865/answer/34078149）
第三，在解决非线性问题时，支持向量机采用核函数的机制，而LR通常不采用核函数的方法。
这个问题理解起来非常简单。分类模型的结果就是计算决策面，模型训练的过程就是决策面的计算过程。通过上面的第二点不同点可以了解，在计算决策面时，SVM算法里只有少数几个代表支持向量的样本参与了计算，也就是只有少数几个样本需要参与核计算（即kernal machine解的系数是稀疏的）。然而，LR算法里，每个样本点都必须参与决策面的计算过程，也就是说，假设我们在LR里也运用核函数的原理，那么每个样本点都必须参与核计算，这带来的计算复杂度是相当高的。所以，在具体应用时，LR很少运用核函数机制。
第四，线性SVM依赖数据表达的距离测度，所以需要对数据先做normalization，LR不受其影响。（引自http://www.zhihu.com/question/26768865/answer/34078149）
一个机遇概率，一个机遇距离！
第五，SVM的损失函数就自带正则！！！（损失函数中的1/2||w||^2项），这就是为什么SVM是结构风险最小化算法的原因！！！而LR必须另外在损失函数上添加正则项！！！
以前一直不理解为什么SVM叫做结构风险最小化算法，所谓结构风险最小化，意思就是在训练误差和模型复杂度之间寻求平衡，防止过拟合，从而达到真实误差的最小化。未达到结构风险最小化的目的，最常用的方法就是添加正则项，后面的博客我会具体分析各种正则因子的不同，这里就不扯远了。但是，你发现没，SVM的目标函数里居然自带正则项！！！再看一下上面提到过的SVM目标函数：
SVM目标函数有木有，那不就是L2正则项吗？
不用多说了，如果不明白看看L1正则与L2正则吧，参考http://www.mamicode.com/info-detail-517504.html
http://www.zhihu.com/question/26768865/answer/34078149
逻辑回归（logistic regression）和支持向量机（SVM）的比较
Liblinear支持两个热门的二元线性分类器：常规逻辑回归LR和线性SVM。给出一组实例标签（xi,yi）,i=1,...l,xi∈Rn，yi∈{-1,1}，这两个分类器使用了不同的损失算法解决下面的约束优化问题。其中，C是大于0的惩罚因子。对于SVM来说，有两个常用的损失算法max（1-yiwTxi,0）和max（1-yiwTxi,0）2，分别指的是L1-SVM和L2-SVM。对LR来说，损失算法是log（1+e-yiwTxi）,得自一个概率模型。在有些案例中，分类器的判别式还要包含一个偏差项b。Liblinear通过对每个实例和纬度加强影响来实现偏差：wT<-[wT,b],XiT<-[XiT,B].其中B是用户指定的常量。与此不同，L1-SVM和L2-SVM的算法是坐标下降法。Liblinear为L2-SVM和LR都实现了信任区域的牛顿方法。在测试阶段，我们预测一个数据点上x>0,如果WTx>0.对于多元实例训练，我们为之提供了1Vrest的策略。
无意间看到上面这段话，想起了那天吃饭的时候一个同事说他碰到一个面试题目是： svm 和 lr 的异同，当时思考了一下，之后想起了曾经在学习logistic regression classification model的梯度的时候，推到和一个简单的两层的sigmoid输出的的梯度是一样，后来发现神经网络拟合的时候，我们用的是均方误差的loss function ，而在这个lr 的推倒的时候，我同样用了均方误差的loss，因此得到一样的结果，但是通常在lr的推倒的时候，我们是直接用 最大似然估计的，然后只有当 误差的分布满足高斯分布的时候，最大似然的结果才会和最小二乘相同（loss function 为均方误差）
刚才看到上面的loss function 的形式，想到了cross entropy loss，在网上找到这篇文章印证了这个
http://www.cs.mcgill.ca/~dprecup/courses/ML/Lectures/ml-lecture05.pdf，不做这个ppt中的lable是0和1，所以和上面的公式有所不同，表达形式没有那么漂亮，但是是一样的，有时间再把这几个公式整理一下吧。
lr 和 svm本质不同在于loss function的不同，不过想想这几乎对所有的单层模型都使用，lr的损失函数是 cross entropy loss， adaboost的损失函数是 expotional loss ,svm是hinge loss，常见的回归模型通常用 均方误差 loss。
损失函数
损失函数，一般由两项组成，一项是loss term,另外一项是regularization term。
J=L+R
先说损失项loss，再说regularization项。
1. 分对得分1，分错得分0.gold standard
2. hinge loss(for softmargin svm),J=1/2||w||^2 +sum(max(0,1-yf(w,x)))
3. log los, cross entropy loss function in logistic regression model.J=lamda||w||^2+sum(log(1+e(-yf(wx))))
4. squared loss, in linear regression. loss=(y-f(w,x))^2
5. exponential loss in boosting. J=lambda*R+exp(-yf(w,x))
再说regularization项，
一般用的多的是R2=1/2||w||^2,R1=sum(|w|)。R1和R2是凸的，同时R1会使得损失函数更加具有sparse，而R2则会更加光滑些。具体可以参见下图：
caffe的损失函数，目前已经囊括了所有可以用的了吧，损失函数由最后一层分类器决定，同时有时会加入regularization,在BP过程中，使得误差传递得以良好运行。
contrastive_loss，对应contrastive_loss_layer，我看了看代码，这个应该是输入是一对用来做验证的数据，比如两张人脸图，可能是同一个人的（正样本），也可能是不同个人（负样本）。在caffe的examples中，siamese这个例子中，用的损失函数是该类型的。该损失函数具体数学表达形式可以参考lecun的文章Dimensionality Reduction by Learning an Invariant Mapping, Raia Hadsell, Sumit Chopra, Yann LeCun, cvpr 2006.
euclidean_loss，对应euclidean_loss_layer,该损失函数就是l=(y-f(wx))^2，是线性回归常用的损失函数。
hinge_loss，对应hinge_loss_layer，该损失函数就是。主要用在SVM分类器中。
infogain_loss，对应infogain_loss_layer，损失函数表达式没找到，只知道这是在文本处理中用到的损失函数。
multinomial_logistic_loss，对应multinomial_logistic_loss_layer，
sigmoid_cross_entropy，对应sigmoid_cross_entropy_loss_layer,也就是logistic regression使用的损失函数。
softmax_loss,对应softmax_loss_layer，损失函数等可以见UFLDL中关于softmax章节。在caffe中多类分类问题，损失函数就是softmax_loss，比如imagenet, mnist等。softmax_loss是sigmoid的多类问题。但是，我就没明白，multinomial_logistic_loss和这个有什么区别，看代码，输入有点差别，softmax的输入是probability,而multinomial好像不要求是probability，但是还是没明白，如果只是这样，岂不是一样啊？
这里详细说明了两者之间的差异，并且有详细的测试结果，非常赞。简单理解，multinomial 是将loss分成两个层进行，而softmax则是合在一起了。或者说，multinomial loss是按部就班的计算反向梯度，而softmax则是把两个步骤直接合并为一个步骤进行了，减少了中间的精度损失等 ，从计算稳定性讲，softmax更好，multinomial是标准做法，softmax则是一种优化吧。
