数学分析理论基础1：实数

实数

实数的正规表示

$实数\begin{cases}有理数：{p\over q}(p,q\in Z,q\neq 0),有限十进小数,无限十进循环小数\\ 无理数：无限十进不循环小数\end{cases}$

将有限小数与整数表示为无限小数：

$\forall x\gt 0,x=a_0.a_1a_2\cdots a_n,$

$其中0\le a_i\le 9,a_i\in N,i=0,1,2,\cdots,n且a_n\neq 0$

$记x=a_0.a_1a_2\cdots(a_n-1)999\cdots$

$对于y\lt 0,则先将-y表示为无限小数再加负号$

$0=0.000\cdots$

注：任何实数都可用一个唯一确定的无限小数表示

实数大小关系定义

$给定两个非负实数$

$x=a_0.a_1a_2\cdots a_n\cdots,\quad y=b_0.b_1b_2\cdots b_n\cdots$

$其中,0\le a_i\le 9,0\le b_i\le 9且a_i,b_i\in N,i=0,1,2,\cdots$

$(1)a_i=b_i,i=0,1,2,\cdots\Rightarrow x=y$

$(2)a_0\gt b_0,$

$或\exists l\in N,使得$

$a_i=b_i(i=0,1,2,\cdots,l)而a_{l+1}\gt b_{l+1}$

$\Rightarrow x\gt y,或y\lt x$

$对于负实数x,y,$

$-x=-y\Rightarrow x=y$

$-x\gt -y\Rightarrow x\lt y(或y\gt x)$

$规定：任何非负实数大于任何负实数$

实数的近似

$给定非负实数x=a_0.a_1a_2\cdots a_n\cdots$

$有理数x_n=a_0.a_1a_2\cdots a_n为x的n位不足近似$

$有理数\bar{x_n}=x_n+\frac{1}{10^n}为x的n位过剩近似$

$对于负实数x=-a_0.a_1a_2\cdots a_n\cdots$

$n位不足近似：x_n=-a_0.a_1a_2\cdots a_n-\frac{1}{10^n}$

$n位过剩近似：\bar{x_n}=-a_0.a_1a_2\cdots a_n$

注： $x_n当n增大时不减,即x_0\le x_1\le x_2\le\cdots$

$\bar{x_n}当n增大时不增,即\bar{x_0}\ge\bar{x_1}\ge\bar{x_2}\ge\cdots$

实数大小关系另一种刻画

$给定两个实数$

$x=a_0.a_1a_2\cdots,\quad y=b_0.b_1b_2\cdots$

$x\gt y\Leftrightarrow \exists n\in N,使x_n\gt\bar{y_n}$

例： $x,y\in R,x\lt y.$ 证明： $\exists r\in Q$ 满足 $x\lt r \lt y$

证：

$\because x\lt y$

$\therefore \exists n\in N,使\bar{x_n}\lt y_n$

$令r=\frac{1}{2}(\bar{x_n}+y_n)$

$则r\in Q,且x\le \bar{x_n}\lt r\lt y_n\le y$

$即x\lt r\lt y\qquad \mathcal{Q.E.D}$

实数的性质

1.R对加减乘除(除数不为0)封闭

2.R有序,即 $\forall a,b\in R,必满足a\lt b,a=b,a\gt b之一$

3.大小关系有传递性,即 $a\gt b,b\gt c\Rightarrow a\gt c$

4.Archimedes性,即 $\forall a,b\in R,b\gt a\gt 0\Rightarrow \exists n\in Z_+,使na\gt b$

5.R有稠密性,即 $\forall a,b\in R,a\neq b,\exists c\in R,a\lt c\lt b$

6.R与数轴上的点一一对应

例： $a,b\in R$ ,证明： $\forall \varepsilon\gt 0,a\lt b+\varepsilon\Rightarrow a\le b$

证：

$假设a\gt b$

$令\varepsilon=a-b,则\varepsilon\gt 0$

$a=b+\varepsilon与a\lt b+\varepsilon 矛盾$

$由R的有序性知a\le b\qquad \mathcal{Q.E.D}$

绝对值与不等式

性质：

1. $|a|=|-a|\ge 0,当且仅当a=0时,有|a|=0$

2. $-|a|\le a\le |a|$

3. $|a|\lt h\Leftrightarrow -h\lt a\lt h;|a|\le h\Leftrightarrow -h\le a\le h(h\gt 0)$

4. $\forall a,b\in R,|a|-|b|\le |a\pm b|\le |a|+|b|$

5. $|ab|=|a||b|$

6. $|{a\over b}|={|a|\over |b|}(b\neq 0)$

证明：性质4

证：

$-|a|\le a\le |a|,-|b|\le b\le |b|$

$\therefore -(|a|+|b|)\le a+b\le |a|+|b|$

$即|a+b|\le |a|+|b|$

$b换成-b得$

$|a-b|\le |a|+|b|$

$又|a|=|a-b+b|$

$\therefore |a|\le |a-b|+|b|$

$\therefore |a|-|b|\le |a-b|$

$b换成-b得$

$|a|-|b|\le |a+b|$

$综上所述$

$\forall a,b\in R,|a|-|b|\le |a\pm b|\le |a|+|b|\qquad \mathcal{Q.E.D}$

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 212,884评论 6赞 492
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 90,755评论 3赞 385
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 158,369评论 0赞 348
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 56,799评论 1赞 285
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 65,910评论 6赞 386
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 50,096评论 1赞 291
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 39,159评论 3赞 411
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 37,917评论 0赞 268
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 44,360评论 1赞 303
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 36,673评论 2赞 327
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 38,814评论 1赞 341
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 34,509评论 4赞 334
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 40,156评论 3赞 317
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 30,882评论 0赞 21
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 32,123评论 1赞 267
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 46,641评论 2赞 362
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 43,728评论 2赞 351