李群与李代数

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为什么需要李代数

假如某个时刻相机的位姿是 $T$ ，它观察到一个在世界坐标系中的空间点 $p$ ，并在相机上产生了一个观测数据 $z$ ，那么
$z = Tp + noise$
$noise$ 是观测噪声。那么观测误差是
$e = z - Tp$
我们的目的是误差最小。假如我们有N个这样的三维点 $p$ 和观测值 $z$ ，那么我们的目标就是寻找一个最佳的位姿 $T$ ，使得整体误差最小化，即
$\min_{T}J(T) = \sum_{t=1}^{N}{||z_i - Tp_i||}^2_2$
求解此问题即对求目标函数J对于变换矩阵T的导数
$T$ 所在的 $SE(3$ )空间，任意两个变换矩阵相加后并不是一个变换矩阵，所以 $SE(3)$ 对加法计算并不封闭，它是有约束的。我们把 $SE(3)$ 空间的 $T$ 映射为 $se(3)$ ， $se(3)$ 称为李代数。 $se(3)$ 由向量组成，因此李代数对加法封闭。我们可以通过对李代数求导间接对变换矩阵求导。

李群

群(group)：群表示一个拥有满足封闭性、满足结合律、有单位元（幺元）、有逆元的二元运算的代数结构。即：一种几何加上一种运算的代数结构。
例如：旋转矩阵乘以旋转矩阵仍然是旋转矩阵，因此旋转矩阵和乘法构成了旋转矩阵群

旋转矩阵本身具有约束 $R^TR = I, det(R) = 1$
两个旋转矩阵相加的结果不满足上述要求，因此旋转矩阵和加法不能构成群。
旋转矩阵有结合率： $R_1 * R_2 = R_2 * R_1$
幺元是单位矩阵I。
SLAM常用的两个群：特殊正交群 $SO(3)$ 和特殊欧式群 $SE(3)$ ，即旋转矩阵群和变换矩阵群，3代表是三维的。注意： $SE(3)$ 是4×4的矩阵。
李群的定义是指连续光滑的群，比如特殊正交群 $SO(3)$ 和特殊欧式群 $SE(3)$ 。

李群和李代数的关系

结论：李代数对应李群的正切空间，它描述了李群的局部导数

矩阵的微分是一个反对称（也叫斜对称）矩阵左乘它本身。
对于某个时刻的 $R(t)$ ，存在一个三维向量 $φ=(φ_1，φ_2，φ_3)$ （李代数空间），用来描述 $R$ 在 $t$ 时刻的局部导数
${\dot {\bf R}}(t) = \phi^{\wedge}{\bf R} = \left[ \begin{matrix} 0 & -\phi_3 & \phi_2 \\ \phi_3 & 0 & -\phi_1 \\ -\phi_2 & \phi_1 & 0 \\ \end{matrix} \right] {\bf R}(t)$

反对称矩阵(skew symmetric matrix)

反对称矩阵，有些地方也称为斜对称矩阵。定义：如果一个3×3的矩阵A满足下式： $A^T = -A$
那么A就是反对称矩阵.
特点:根据反对称矩阵的性质，反对称矩阵A转置后对角线元素 $a_{ii}$ 位置不变，所以 $a_{ii} = -a_{ii}$ ，得 $a_{ii} = 0$ 。非对角线元素 $a_{ij} = -a_{ji}$ ，所以使用一个元素及其负数可以表示矩阵中 $a_{ij}$ 和 $a_{ji}$ 这两个元素，所以矩阵 $A$ 中非对角线元素可以用三个元素表示。也就是说反对称矩阵 $A$ 只有3个自由度。因此，我们可以把反对称矩阵和向量建立对应关系：
假设我们有一个反对称矩阵 $A$ ，定义如下
${\bf A} = \left[ \begin{matrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \\ \end{matrix} \right]$
定义一个对应的三维向量:
${\bf a} = [a_1, a_2, a_3]$
我们用上三角符号表示向量 $\bf a$ 和三维矩阵 $\bf A$ 的对应关系：
${\bf a^{\wedge}}={\bf A}$

指数映射

在原点处 $t_0 = 0$ ，假设 ${\bf R}(t_0) = {\bf I}$ ， $t_0$ 附近 $t$ 处， ${\bf R}(t) = {\bf R}(t_0) + {\bf \dot{R}}(t_0)(t - t_0)$ 由 ${\bf \dot{R}}(t) = {\bf \phi^{\wedge}R}(t)$ 可得， ${\bf R}(t) = {\bf I} +{\bf \phi}(t_0)^{\wedge}(t)$ 在 $t_0$ 附近，设 $\bf \phi$ 为常数 ${\bf \phi}(t_0) = {\bf \phi}_0$ ， ${\bf \dot{R}(t)} = {\bf \phi}(t_0)^{\wedge}{\bf R}(t) = {\bf \phi}_0^{\wedge}{\bf R}(t)$ 因为 ${\bf R}(0) = {\bf I}$ ，所以 ${\bf R}(t) =exp(\phi_0^{\wedge}t)$

李代数 $so(3)$ 是三维向量 $\phi$ 的集合，每个向量 $\phi_i$ 的反对称矩阵都可以表达李群 $SO(3)$ 上旋转矩阵 $R$ 的导数，而 $R$ 和 $\phi$ 是一个指数映射关系。也就是说，李群空间的任意一个旋转矩阵 $R$ 都可以用李代数空间的一个向量的反对称矩阵的指数来近似。

求解 $exp(\phi^{\wedge})$ 需要用到指数 $e$ 的泰勒展开式 $\bf e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5 + \frac{1}{6!}x^6 + \cdots$
结论：罗德里格斯公式（ $\bf a$ 是长度为1的方向向量） $\bf exp(\theta a) = cos\theta I + (1 - cos\theta)aa^T + sin\theta a^a$
罗德里格斯公式是表示从旋转向量到旋转矩阵的转换过程。
$\bf so(3)$ 的李代数空间就是由旋转向量组成的空间，其物理意义是旋转向量。