三维实李代数的Jacobi 恒等式与三角形的垂心

对于平面 $\mathbb{R}^2$ 上三角形 $\Delta ABC$ ，我们取 $A$ 为坐标原点, $B$ 点的坐标为 $(x_B,0)$ , $C=(x,y)$ , 我们记
$\begin{align} a&=(x-x_B,y)\\ b&=(-x,-y)\\ c&=(x_B,0)\\ \end{align}$
现在我们将三角形 $\Delta ABC$ 嵌入到三维空间 $\mathbb{R}^3$ 中，于是 $A=(0,0,0)$ , $B=(x_B,0,0)$ , $C=(x,y,0)$ ，且
$\begin{align} a&=(x-x_B,y,0)\\ b&=(-x,-y,0)\\ c&=(x_B,0,0)\\ \end{align}$
于是
$[a,b]= \begin{vmatrix} i & j & k \\ x-x_B & y & 0 \\ -x & -y & 0\\ \end{vmatrix} =(0,0,x_By)$
因此
$\begin{align} [[a,b],c]= \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & 0 & x_By\\ x_B & 0 & 0\\ \end{vmatrix} =(0,x_B^2y,0) \end{align}$

注意，这里显然的事实是 $<[[a,b],c],c>=0$ , 这就是说， $[[a,b],c]$ 与 $c$ 是垂直的. 不难计算 $c$ 边上的高
$h_c=(x,0,0)-(x,y,0)=(0,-y,0).$
这表明 $[[a,b],c]$ 与 $h_c$ 是平行的.

类似
$[b,c]= \begin{vmatrix} i & j & k \\ -x & -y & 0 \\ x_B &0 & 0 \\ \end{vmatrix} =(0,0,x_By)$
因此
$\begin{align} [[b,c],a]= \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & 0 & x_By\\ x-x_B & y & 0\\ \end{vmatrix} =(-x_By^2,-xx_By+x_B^2y,0) \end{align}$
类似上面的讨论，我们知道 $<[[b,c],a],a>=0$ , 同时不难计算 $a$ 上的高
$h_a=(\frac{x_By}{(x-x_B)^2+y^2},-\frac{x_B(x-x_B)y}{(x-x_B)^2+y^2},0)$
类似计算有
$[c,a]= \begin{vmatrix} i & j & k \\ x_B & 0 & 0 \\ x-x_B & y & 0\\ \end{vmatrix} =(0,0,x_By)$
故
$\begin{align} [[c,a],b]= \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & 0 &x_By \\ -x & -y & 0\\ \end{vmatrix} =(x_By^2,xx_by,0) \end{align}$
也就是

现在我们计算
$[[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=(0,x_B^2y,0)+(-x_By^2,-xx_By+x_B^2y,0)+(x_By^2,xx_by,0)=0$

最后编辑于：2021.08.05 17:28:06

三维实李代数的Jacobi 恒等式与三角形的垂心

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