平面向量共线定理在几何问题中的应用

随着向量在科学研究中的工具性应用，与它在社会生产生活中所起的巨大作用，所以近年来数学高考题中，命入了共线向量内容考题。在今后的高考试题中，共线向量必将增长态势。其在高考题型多以选择题、填空题出现，其试题难度属低中档题.

类型一在几何问题中的应用

使用情景：平面几何证明、求值等问题中的应用

解题步骤：

第一步将已知条件进行向量处理；

第二步利用平面向量的运算法则和线性运算等性质进行求解；

第三步得出结论.

【例1】平面内有一个 $\triangle ABC$ 和一点 $O$ ，线段 $OA$ 、 $OB$ 、 $OC$ 的中点分别为 $E$ 、 $F$ 、 $G$ ， $BC$ 、 $CA$ 、 $AB$ 的中点分别为 $L$ 、 $M$ 、 $N$ ，设 $\stackrel{\longrightarrow}{OA}=\vec{a}$ ， $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ ， $\overrightarrow{OC}=\vec{c}$ .

（1）试用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 表示向量 $\overrightarrow{EL}$ ， $\overrightarrow{FM}$ ， $\overrightarrow{GN}$ ；

（2）证明线段 $EL$ 、 $FM$ 、 $GN$ 交于一点且互相平分.
【解析】

（1） $\overrightarrow{OE}=\dfrac{1}{2}\vec{a}$ ， $\overrightarrow{OL}=\dfrac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})$ ，

$\overrightarrow{EL}=\overrightarrow{OL}-\overrightarrow{OE}=\dfrac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c}-\vec{a})$

$\overrightarrow{FM}=\dfrac{1}{2}(\vec{a}+\vec{c}-\vec{b})$ ，

$\overrightarrow{GN}=\dfrac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}-\vec{c})$ .

（2）证明：设线段 $EL$ 的中点为 $P_1$ ，

则 $\overrightarrow{OP_1}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OL}\right)=\dfrac{1}{4}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$ ，

设 $FM$ 、 $GN$ 的中点分别为 $P_2$ 、 $P_3$ ，

同理： $\overrightarrow{OP_2}=\dfrac{1}{4}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$ ， $\overrightarrow{OP_3}=\dfrac{1}{4}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$ ，，

$\therefore \overrightarrow{OP_1}=\overrightarrow{OP_2}=\overrightarrow{OP_3}$ ，即其交于一点且互相平分.

【总结】本题考查向量加法、数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及向量的数乘运算，三角形中位线的性质，平行四边形的判定，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分。

【例2】如图，等腰三角形 $ABC$ ， $AB=AC=2$ ， $\angle BAC=120^\circ$ . $E$ ， $F$ 分别为边 $AB$ ， $AC$ 上的动点，且满足 $\overrightarrow{AE}=m\overrightarrow{AB}$ ， $\overrightarrow{AF}=n\overrightarrow{AC}$ ，其中 $m,n \in (0,1),m+n=1$ ， $M,N$ 分别是 $EF,BC$ 的中点，则 $\Big|\overrightarrow{MN}\Big|$ 的最小值为____.

【解析】

连接 $AM$ ， $AN$

$\therefore$ 等腰三角形 $ABC$ 中， $AB=AC=2$ ， $\ang BAC=120^\circ$ ，

$\therefore \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\Big|\overrightarrow{AB}\Big|\Big|\overrightarrow{AC}\Big|\cos 120^\circ=-2$

$\because AM$ 是 $\triangle AEF$ 的中线，

$\therefore \overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}\right)=\dfrac{1}{2}\left(m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}\right)$ ，

同理，可得 $\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ ，

由此可得

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$

$=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)-\dfrac{1}{2}\left(m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}\right)$

$=\dfrac{1}{2}(1-m)\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}(1-n)\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{MN}^2=\left[\dfrac{1}{2}(1-m)\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}(1-n)\overrightarrow{AC}\right]^2$

$=\dfrac{1}{4}(1-m)^2\overrightarrow{AB}^2+\dfrac{1}{4}(1-n)^2\overrightarrow{AC}^2+\dfrac{1}{2}(1-m)(1-n)\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$