傅里叶变换（中）

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傅里叶级数构成

图形上我们了解什么是傅里叶变换，现在再从公式来推导一下傅里叶变换
$f(x) = C + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos(\frac{2 \pi n}{T}x) + b_n \sin (\frac{2 \pi n}{T} x)) , c \in \mathbb{R}$

这样一个公式就很好理解，首先我看常数项 C

g(x) = C 一定是一个周期函数，这个应该没有问题，而且他周期是任意的
常数项可以用于调节函数值

我们来思考一下为什么傅里叶级数需要 sinx 和 cosx 函数

我们知道任何一个函数都可以写成一个奇函数和偶函数的和
$f(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2}$
这样形式，其中 $\frac{f(x) + f(-x)}{2}$ 是偶函数相当于 cosx 而 $\frac{f(x) - f(-x)}{2}$ 相当于奇函数(sinx)
那么我们再来看一看周期 $\frac{2 \pi n}{T}$ ,我们看一函数的周期是 $\frac{2 \pi}{\frac{2 \pi n}{T}} = \frac{T}{n}$ , 我们对于 $\frac{T}{n}$ 周期函数他的周期可以看做T。这个应该没有问题

我们在看一看系数 $a_n$ 和 $b_n$ 因为我们知道 $\sin x$ 的取值范围为 $-1 \le \sin x \le 1$ ,所以我们需要 $a_n$ 来调节振幅

从自然数到复数

我们在继续介绍傅里叶变换前，来简单地介绍一下复数来来历，因为随后我们会用到复数。
开始最熟悉是自然数，然后随着减法的出现，一个较小自然数减去一个较大自然数,这时自然数就无法满足这个要求了，于是出现整数，增加了负数。然后随着除法的出现，因为有些整数是无法进行整除的，为了满足这个需求，这时在整数基础上引入了分数来解决这个问题，开发了，因为平方都是整数，那么我们如何对负数进行开方，这就引入了复数。

基向量和基函数

在线性空间里我们的一个向量是可以表示为
$\vec{a} = a_1 \vec{i} + a_2 \vec{j}$
通过基向量的组合来表示向量，这里 $\vec{i}$ 看做基向量而 $a_1$ 看做系数，那么我们函数也存
这里基向量 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 需要满足他们是正交基向量，如果两个向量正交那么需要满足 $\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$ ，这样一组基向量
在用基函数和系数组合来表示一个函数
$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)$

其实我们也可以将基向量扩展到向量a可以用任意一对正交向量来表示，假设向量a 是用向量 u 和 v 来表示，那么他们系数就是a1和a2计算如下。

$\begin{cases} \frac{\vec{a}\vec{u}}{\vec{u}\vec{u}} = a_1 \\ \frac{\vec{a}\vec{v}}{\vec{v}\vec{v}} = a_2 \end{cases}$

同样我们可以将基向量和系数来表达向量的方式扩展到基函数和系数来表示函数，只要两个函数式正交的就满足我们知道 sinx 和 cosx 就是一对正交函数，那么我们就可以利用上面学习的表示 $a_n$ 和 $b_n$ 的系数

$\begin{aligned} a_n = \frac{\int_0^Tf(x)\sin(\frac{2\pi n}{T}x)dx}{\int_0^Tf(x)\sin^2(\frac{2\pi n}{T}x)} \\ b_n = \frac{\int_0^Tf(x)\cos(\frac{2\pi n}{T}x)dx}{\int_0^Tf(x)\cos^2(\frac{2\pi n}{T}x)} \end{aligned}$

欧拉公式

我们可能已经了解了欧拉公式，这里原本也想介绍一下欧拉公式的推导过程，但是感觉这样似乎有点跑偏，毕竟我们是介绍 SLAM 的，所以欧拉公式如果感兴趣大家可自己找一些资料看一看这个著名的欧拉公式，其实我们用f(x)就是欧拉发明
$e^{it} = \cos t + i \sin t$
$e^{-it} = \cos t - i \sin t$
利用欧拉公式我们能够进行推导
$\begin{cases} \cos mt = \frac{e^{imt}+e^{-imt}}{2} \\ \sin nt = \frac{e^{int} - e^{-int}}{2i} \end{cases}$

这样我们利用欧拉公式对上面公式进行变换就得到
$f(x) = C + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos(\frac{2 \pi n}{T}x) + b_n \sin (\frac{2 \pi n}{T} x)) , c \in \mathbb{R}$

$\Rightarrow \sum_{-\infty}^{+\infty}C_n e^{i\frac{2 \pi n x}{T}}$

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