群笔记速记（其一、基础）

注：本文知识以及例子来源主要是Abstract Algebra，作者是David S. Dummit 和 Richard M. Foote，适量夹杂一些废话和本人的书写习惯

本篇依然在完善当中，我会尽快尽力纠错并在排版、措词、解释方法上面作出优化。（目前事实是有小部分内容我自己还没有完全消化……）这几天会努力的！

群的定义

群（group）是一个有序对 $(G, \cdot)$ ，其中 $G$ 是一个集合； $\cdot$ 是一个二元运算，其定义为函数 $\cdot : G \times G \rightarrow G$ 。为了方便，我们将 $\cdot(x, y)$ 记作 $x \cdot y$ 。后文所引用的 $G$ 和 $\cdot$ 若无特别说明，均指群定义中的集合和二元运算。

运算 $\cdot$ 是可结合的（associative），即 $\forall a, b, c \in G: a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ 。

$G$ 中存在幺元（identity）记作 $e$ 使得 $\forall a \in G \qquad a \cdot e = e \cdot a = a$ 。

任意 $G$ 中的元素 $a$ 都在 $G$ 中存在逆元（inverse），记作 $a^{-1}$ ，使得 $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$ 。

【附加定义】当运算 $\cdot$ 是可交换的（commutative），即 $\forall a, b \in G: a \cdot b = b \cdot a$ 时，我们该群是一个阿贝尔群（abelian group）或交换群（commutative group）。

【运算定义】定义群的直积（direct product）为二元运算 $\times: (G, \star) \times (H, \diamond) \rightarrow (I, \cdot)$ ，其中集合 $I$ 定义为集合 $G$ 和 $H$ 的笛卡尔积，即
$I = G \times H = \{(g, h) | g \in G, h \in H\}$ 二元运算 $\cdot$ 定义为 $\cdot: (G \times H) \times (G \times H) \rightarrow (G \times H)$ ，具体为：
$(g_1, h_1) \cdot (g_2, h_2) = (g_1 \star g_2, h_1 \diamond h_2)$

从群的定义上来看，重点在于研究某指定数集上的某二元运算，其满足结合律且存在幺元和逆元。对于“乘法”群中来说， $0$ 总是无法处理的元素（逆元不存在），所以乘法的群不包含0。

一些称法和记法上的说明

为了之后说明的方便和严谨性，我们接下来用集合的名称指代群的名称。
当提到群的元素时，都是指群所处集合的元素。
当提到群的序数时，都是指群的集合的序数，即元素个数。
当提到某个集合在某运算下形成群时，都是指由此集合和此运算符满足群的定义。
如果不加声明地使用某个变量（如a, b, x, y等），则默认它是上下文中提到的群的元素。
集合的运算符 $\cdot$ 在不导致歧义的情况下会省略，即 $a \cdot b$ 将记为 $ab$ 。
同样，不造成歧义时，我们有时会将群的幺元记作 $1$ 。
我们将实数中定义的整数次幂运算扩展到群的集合中： $n \in \mathbb{Z}^+, a^n = a...a(\text{n 项})$ 。同时令 $a^0 = 1$ ，即幺元。

举例

$\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ 都是在 $+$ （加法）下成立的群；幺元 $e = 0$ ； $a$ 的逆元 $a^{-1} = -a$ 。
$\mathbb{Q} - \{0\}, \mathbb{R} - \{0\}, \mathbb{C} - \{0\}, \mathbb{Q}^+, \mathbb{R}^+$ 都是在 $\times$ （乘法）下成立的群；幺元 $e = 1$ ； $a$ 的逆元 $a^{-1} = \frac{1}{a}$ 。
上面的例子满足群的定义应该是显而易见的。当然，关于实数和复数的定义值得另外讨论，不过这里就按照大家理所当然的那样把他们看作事实。
向量空间 $V$ 在 $+$ 下也形成群。向量空间V定义为n个 $(n \ge 1)$ 定义在 $F^n$ 上数字组成的有序元组组成的集合，比如 $(1, 4, -1)$ 就是定义在 $\mathbb{Z}^3$ 上的向量空间。其幺元是零向量， $v$ 的逆元 $v^{-1} = -v$ 。
加法余数集 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 在 $+$ 下形成群。幺元 $e = \bar{0}$ ； $\bar{a}$ 的逆元 $\overline{a}^{-1} = \overline{-a}$ 。
乘法余数集 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ 在 $\times$ 下形成群。幺元 $e = \bar{1}$ ，逆元也根据其定义存在。

群的基本性质

我们不加证明地给出群的以下性质：

命题1.

幺元 $e$ 唯一

任意元素 $a$ 的逆元 $a^{-1}$ 唯一

${a^{-1}}^{-1} = a$

$(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$

$a_1a_2...a_n$ 的值不依赖于括号如何加（广义结合律）

以上这些性质可以从群的定义轻松得到。一些证明的技巧就是两边同乘逆元或利用幺元定义等。

命题2.

方程 $ax = b$ 和 $ya = b$ 分别有唯一解。

二元运算 $\cdot$ 满足消去律（cancellation laws），即： $\left \{ \begin{aligned} & au = av \Rightarrow u = v \\ & ub = vb \Rightarrow u = v \end{aligned} \right.$

若 $ab = e$ 或 $ba = e$ ，则 $b = a^{-1}$ 。

若 $ab = a$ 或 $ba = a$ ，则 $b = e$ 。

定义

元素 $x$ 的阶（order）定义为最小的正整数 $n$ 令 $x^n = 1$ ，记作 $|x|$ 。
显然，群中的一个元素有可能怎么乘幂都达不到幺元；此时我们称其阶为无穷。

阶的举例

一个元素当且仅当它是幺元时，拥有阶数1.
之前提到的各种加法数群（ $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ ）的非零元素的阶都是无穷的； $0$ 作为幺元，阶当然是1。
加法余数群（以 $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ 为例）， $\bar{6}$ 的阶是3，因为 $\bar{6}+\bar{6}+\bar{6} = \bar{18} = \bar{0}$ 。类似地，我们可以得到该例中其它元素的阶： $\{1, 9, 9, 6, 9, 9, 3, 9, 9\}$ 。
乘法余数群（以 $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^{\times}$ 为例）， $\bar{2}$ 的阶是3，因为 $\bar2 \cdot \bar2 \cdot \bar2 = \bar8 = \bar1$ 。类似地，我们可以得到该例中其它元素的阶： $\{1, 3, 6, 6, 12, 2\}$ 。

二面体群

让我们把群的概念引入到几何领域中。一个比较简单且直观的例子是正多边形的对称变换群。我们首先定义对称变换（symmetry）：一个对称变换是指对多边形的一个变换（即函数）。形象些说，我们如果对变换前的正多边形的角进行编号： $\{1, 2,..., n\}$ ，在对称变换（比如延轴翻转、绕心旋转这样不改变原来形状的变换）后，尝试将正多边形覆盖到原来的多边形上，会看到现在在角上的编号是原来编号的一个重排列 $\sigma$ 。作为提醒，排列是指从一个集合映射到同一个集合的映射。举个具体的例子，对正n边形进行顺时针的 $\frac{2\pi}{n}$ 旋转是一个对称变换，它让原来的某种编号 $\{1, 2,...,n\}$ 变成了 $\{2, 3,..., n, 1\}$ ，可以写作 $\sigma(\{1, 2,...,n\}) = \{2, 3,...,n, 1\}$ ，或对于其中的一个元素比如1，有 $\sigma(1) = n$ 。 $\sigma(i) = k$ 指的是 $i$ 经过变换之后的位置。

接下来，让我们利用变换的复合规律（即函数的复合规律），定义运算符 $\cdot$ ：若 $s, t$ 是两个对称变换，则定义 $s \cdot t$ 或简记为 $st = s \circ t$ ，表现为先进行变换 $t$ ，再进行变换 $s$ （和复合函数的定义一致）。对该运算定义幺元 $1$ ，本质即是对多面体什么都不操作的变换（单位变换）。某个对称变换 $s$ 的逆元可以理解为进行其重排列 $\sigma$ 的逆元 $\sigma^{-1}$ 那样的变换，通俗地举例来说， $s$ 顺时针转了 $k$ 度那么 $s^{-1}$ 就是逆时针转 $k$ 度。

定义

二面体群（Dihedral Group）定义为 $(D_{2n}, \cdot)$ ，其中 $D_{2n}$ 是所有对正n变形的对称变换的集合， $\cdot$ 是上文定义的运算符。此处 $2n$ 指的其实是群的序数，即 $|D_{2n}| = 2n$ 。这点我们很快会在下面展示出来。

为了探究二面体群中运算的特殊规律，我们先定义其中的两个重要的元素：

$r$ ：指绕正n边形中心顺时针旋转 $\frac{2\pi}{n}$ 的对称变换。
$s$ ：指以经过正n边形中心和标号1的角为轴进行翻转的对称变换。

如果从重排列 $\sigma$ 的角度理解对称变换 $r$ 和 $s$ ，易察觉它们等同于：
$\sigma_r(i) = \left \{ \begin{aligned} & i + 1 & 1 \le i \le n - 1 \\ & 1 & i = n \end{aligned} \right. \\ \sigma_s(i) = n - i + 1 \qquad\qquad\space\space 1 \le i \le n$
通俗地解释，就是 $\sigma_r$ 全体元素向左平移了一格，超出来的第 $n$ 个元素移到第一位，比如 $\{1, 2, 3, 4\}$ 变为 $\{2, 3, 4, 1\}$ ； $\sigma_s$ 则是将全体元素倒置，比如 $\{1, 2, 3, 4\}$ 变为 $\{4, 3, 2, 1\}$ 。
从 $s$ 和 $t$ 的定义不难发现对称变换的规律：

$1, r, r^2,...r^{n-1}$ 是不同的变换，且 $|r| = n$ 。

$|s| = 2$ 。

对于任何 $i \in \mathbb{Z}$ ， $s \neq r^i$ 。

对于任何 $0 \le i, j \le n - 1 \land i \ne j$ ， $sr^i \ne sr^j$ 。

$D_{2n} = \{1, r, r^2,...,r^{n-1}, s, sr, sr^2,...,sr^{n-1}\}$ ，正好 $2n$ 个元素。

$rs = sr^{-1}$ 。验证如下：左式等同于 $\sigma_r \circ \sigma_s$ ，右式等同于 $\sigma_s \circ \sigma_{r^{-1}}$ ，根据定义有：
$\sigma_r(\sigma_s(i)) = \sigma_r(n - i + 1) = \left \{ \begin{aligned} & n - i + 2 & 2 \le i \le n \\ & 1 & i = 1 \end{aligned} \right. \\ \sigma_s(\sigma_{r^{-1}}(i)) = n - \sigma_{r^{-1}}(i) + 1 = \left \{ \begin{aligned} & n - i + 2 & 2 \le i \le n \\ & n & i = 1 \end{aligned} \right.$

$r^is = sr^{-i}$ 。验证和上面类似。

生成元

之前我们简单认识了二面体群中的两个特殊元素 $r$ 和 $s$ ，它们可以通过组合表示群中的任何其它元素。我们借此引入生成元（generator）的概念。

定义

设 $S$ 是群 $G$ 的一个子集，如果 $G$ 中所有元素都可以通过 $S$ 中元素或它们的逆元的有限运算（指群定义中的运算）得到，则称 $S$ 是 $G$ 的一个生成元集（a set of generators），并称 $S$ 可以生成 $G$ ，记作 $G = \langle S \rangle$ ，尖括号中的 $S$ 实际上写成 $S$ 的一个全元素组合的形式。

举例来说，整数 $1$ 便是整数加法群的生成元，记作 $\mathbb{Z} = \langle 1 \rangle$ 。之前刚刚学到的二面体群中， $r$ 和 $s$ 是 $D_{2n}$ 的生成元，记作 $D_{2n} = \langle r, s \rangle$ 。

定义

为了描述生成元是如何构建出群中任何其它元素的，我们需要一些由生成元构成的等式，称作关系式（relations）。比如二面体群中的关系式有
$r^n = 1, s^2 = 1, rs = sr^{-1}$
任何其它的关系式都可以通过这三个推导出，我们记为：
$D_{2n} = \langle r, s \mid r^n = s ^ 2 = 1, rs = sr^{-1} \rangle$
对于一般的形式，可以记作：
$G = \langle S \mid R_1, R_2,...R_m \rangle$

通过生成元集的形式，我们可以相对清楚地认识到群中元素的状态和性质。不过有时因为关系式的选取方式，我们在寻找群的序数时会遇到一些困难。下面举两个和二面体群很相似的群的例子：

$X_{2n} = \langle x, y \mid x^n = y ^ 2 = 1, xy = yx^2 \rangle$ 从前一个关系式可知，该群中元素都可以写成 $x^iy^k$ 的形式，且 $0 \le i \le n - 1, 0 \le k \le 1$ 。后面一个表达式则是描述“伪交换律”，即将 $x, y$ 顺序颠倒的方法。这样看，我们会猜测这个群中有 $2n$ 个元素，也因此先草率地将其记为 $X_{2n}$ ，然而考察下面的连等式：

$x = xy^2 = (xy)y = (yx)(xy) = (yx)(yx^2) = y(xy)x^2 = y(yx^2)x^2 = y^2x^4 = x^4$

其中借用了 $y^2 = 1$ 的条件式，我们会发现高次的 $x$ 的次数会转化为次数与3的余数，即 $x^3 = 1$ 。这样， $|X_{2n}|$ 与 $n$ 的取值在多数情况下没有关系，且最多为 $6$ 。

$Y = \langle u, v \mid u^4 = v^3 = 1, uv = v^2u^2 \rangle$ 从前一个关系式我们又会推测群的序数为 $12$ ，但考察下面的连等式：

$\begin{aligned} u &= uv^3 = (uv)v^2 = v^2u^2v^2 = v^2u(uv)v = v^2u(v^2u^2)v = v^2(uv)vu(uv) \\ &= v^2(v^2u^2)vu(v^2u^2) = v^3vu^2v(uv)vu^2 = vu^2v(v^2u^2)vu^2 = vu^2v^3u^2vu^2 \\ &=vu^4vu^2 = v^2u^2 = uv \end{aligned}$

根据幺元的唯一性，得到 $v$ 是幺元。代入第三个关系式得到 $u = u^2$ ，故 $u$ 也是幺元。因此这个群有且仅有一个元素，即幺元 $1$ 。

对称群

设 $\Omega$ 是一个非空集合，则记 $S_{\Omega}$ 为 $\{f \mid f : \Omega \rightarrow \Omega, f\text{是一个双射}\}$ 。将复合运算 $\circ$ 作为定义在 $S_{\Omega}$ 上的运算。定义单位变换 $1$ 为 $1(x) = x$ ；将元素 $f$ 的逆元 $f^{-1}$ 定义为 $f$ 的反函数。不难发现 $(S_{\Omega}, \circ)$ 是一个群。

定义

对于 $\Omega = \{1, 2,...,n\}$ 的情形，我们把 $S_{\Omega}$ 记为 $S_n$ 并称为 $n$ 次对称群（symmetric group of degree n）。这是一个很重要的群，事先在此和大家说明。从排列的性质不难得到 $|S_{\Omega}| = n!$

为了便于记录排列，我们引入循环分解（cycle decomposition）的记法。首先，一个循环（cycle）是指一个整数的序列，它表示 $S_n$ 中的一个元素（即一个变换）。循环 $(a_1 a_2...a_m)$ 表示将 $a_i(1 \le i \le m - 1)$ “送到” $a_{i+1}$ 的位置，而将 $a_m$ “送到” $a_1$ 的位置（这就是我们在二面体群中讨论到的旋转对称变换，即 $r$ ）。比如 $(2, 1, 3)$ 是将 $2$ 映射到 $1$ ， $1$ 映射到 $3$ ， $3$ 映射到 $2$ 的变换。在循环分解的记法中，一个变换 $\sigma$ 会被表示成一个或多个循环的列举：
$(a_1a_2...a_{m_1})(a_{m_1+1}a_{m_1+2}...a_{m_2})...(a_{m_{k-1}}a_{m_{k-1}+1}...a_{m_k})$

下面我们通过一个例子来展示循环分解算法的进行：

首先定义一个重排列 $\sigma$ ，使得：
$\begin{aligned} \sigma(\{ &1, \space\space 2, \space\space 3, 4, 5, \space\space 6, 7, 8, \space\space 9, 10, 11, 12, 13\}) \\ = \{ &12, 13, 3, 1, 11, 9, 5, 10, 6, 4, \space\space 7, \space\space 8, \space\space 2\} \end{aligned}$
具体的步骤是：

从最小的未在前序循环中出现的 $1 \le i \le n$ 开始循环，比如 $a$ 。我们写下左括号 $($ 并考察 $\sigma(a)$ 的值 $b$ 。

如果 $b = a$ ，就用右括号 $)$ 终结这个循环，然后回到步骤1；否则写下 $b$ 。考察 $\sigma(b)$ 的值 $c$ 。

如果 $c = a$ ，就用右括号 $)$ 终结这个循环，然后回到步骤1；否则写下 $c$ 。考察 $\sigma(c)$ 的值 $b$ 。回到步骤2。
为防止歧义，我们把本质上一致的第二步和第三步分成了两步。前面的重排列 $\sigma$ 可以根据这几个步骤形成一组循环：
$(1 \space 12 \space 8 \space 10 \space 4)(2 \space 13)(3)(5 \space 11 \space 7)(6 \space 9)$

发现这些循环互相为不相交集（disjoint set），即两个集合中不存在相同的元素。习惯上通常会省略长度为1的循环，所以上面的循环会写成：

$\sigma = (1 \space 12 \space 8 \space 10 \space 4)(2 \space 13)(5 \space 11 \space 7)(6 \space 9)$

变换的逆 $\sigma^{-1}$ 的循环分解是 $\sigma$ 的循环分解的倒置：

$\sigma^{-1} = (4 \space 10 \space 8 \space 12 \space 1)(13 \space 2)(7 \space 11 \space 5)(9 \space 6)$

循环中的元素进行平移之后所代表的变换不变，即：
$(a_1a_2...a_m) = (a_2a_3...a_ma_1) = ...= (a_ma_1...a_{m-1})$

矩阵群

为了引入矩阵群的概念，我们首先定义域（Field）。

定义

一个域（field） $F$ 上定义了两个二元运算 $+$ 和 $\cdot$ ，使得 $(F, +)$ 和 $(F - \{0\}, \cdot)$ 都是阿贝尔群（交换群），其中 $0$ 是 $(F, +)$ 的幺元。

运算 $+$ 对于运算 $\cdot$ 满足分配律，即 $\forall a, b, c \in F, a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ 。

域是最小的能够进行四则运算的数学结构。我们会在后续深入地学习域，但是现在我们需要简单了解一些域的例子，如 $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}(p\text{是素数})$ 。其中 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 也会用 $\mathbb{F}_p$ 来表记。

定义

矩阵群（matrix group）是在指定的 $n \in \mathbb{Z}^+$ 时，对矩阵乘法有定义，且矩阵中每一项元素来自域 $F$ 的全体行列式值非零的 $n \times n$ 矩阵的集合，记作 $GL_n(F)$ 。
$GL_n(F) = \{A_{nn} \mid A\text{定义在}F\text{上}, det(A) \ne 0\}$
n阶矩阵群的幺元是 $I_n$ ，即对角线为 $1$ ，其余元素都是 $0$ 的矩阵。

四元数群

定义

四元数群（quaternion group）记作 $Q_8$ ，定义为：
$Q_8 = \{1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\}$
四元数群上定义了二元运算 $\cdot$ ，运算规律如下：

$1 \cdot a = a \cdot 1 = a \qquad \forall a \in Q_8$ 。即 $1$ 是幺元。

$(-1) \cdot (-1) = 1 \qquad (-1) \cdot a = a \cdot (-1) = -1 \qquad \forall a \in Q_8$ 。

$i \cdot i = j \cdot j = k \cdot k = -1$

$i \cdot j = k \qquad j \cdot i = -k$

$j \cdot k = i \qquad k \cdot j = -i$

$k \cdot i = j \qquad i \cdot k = -j$

可能有些费劲，但是通过枚举可以证明二元运算 $\cdot$ 的结合性。其它群的性质则很容易证明。这样我们就得到了四元数群。

同态和同构

我们现在来尝试描述两个群之间是否看起来一样，即它们拥有一样的群论上的架构，这种性质叫做同构。但在此之前，让我们先介绍同态的定义。

定义

设两个群 $(G, \star), (H, \diamond)$ 。同态是一个函数 $\varphi: G \rightarrow H$ 使得：
$\varphi(x \star y) = \varphi(x) \diamond \varphi(y) \qquad \forall x, y \in G$

按照一贯的简洁风格，我们会把这个定义写作 $\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)$ ，但需注意等号两边省略的运算是不一样的。

定义

若存在同构（isomorphism） $\varphi: G \rightarrow H$ 使得：

$\varphi$ 是一个同态。

$\varphi$ 是双射。
则称群 $G$ 和 $H$ 是同构的（isomorphic），记作 $G \cong H$ ，

根据定义，我们不难发现同构的两个群拥有相同的群性质：任何从一个群的定义中的运算性质都可以通过双射的同态变换在另一个群上成立。这也是我们能够省略运算符的一个原因。

举例

$G \cong G$ 对任何群 $G$ 成立。
函数 $exp: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$ 定义为 $exp(x) = e^x$ ，是 $(\mathbb{R}, +)$ 到 $(\mathbb{R}^+, \times)$ 的同构。这是因为 $exp$ 函数有反函数 $ln: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ ，且 $exp(x + y) = exp(x) \times exp(y) \ \forall x, y \in \mathbb{R}$ 。
考虑两个非空集合 $\Delta, \Omega$ 。对称群 $S_{\Delta}$ 和 $S_{\Omega}$ 是同构的当且仅当 $|\Delta| = |\Omega|$ 。证明从略。

我们在之后会遇到很多同构的例子，而且结构不限于群，还有环、域等等。一个重要的问题是什么样的结构上的性质可以决定其同构的类别，比如群 $G$ 拥有怎样的性质 $\mathcal{P}$ 时，当另一个群 $X$ 也拥有性质 $\mathcal{P}$ 时，我们就可以判定 $X \cong G$ 。这种由结构性质决定是否同构的理论被称为分类理论（classification theorems）。可以先举一个例子：
$\textit{任何阶数为6的非阿贝尔群与}S_3\textit{同构。}$
根据这个分类理论，我们可以判断出 $D_6 \cong S_3, GL_2(\mathbb{F}_2) \cong S_3$ ，而不必通过构建特定的函数来满足同构的定义。

我们常常难以判断两个群（或其它数学结构）是否是同构的，不过我们有时可以用下面这些同构必备的特点迅速排除某个函数 $\varphi: G \rightarrow H$ 不可能为同构的情况：

$|G| = |H|$

$G$ 是阿贝尔群当且仅当 $H$ 是阿贝尔群。

$\forall x \in G, |x| = |\varphi(x)|$ ，作为提醒这里的 $|x|$ 指的是 $x$ 的阶。

比如， $S_3$ 和 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 就不可能同构，因为前者不是阿贝尔群而后者是； $(\mathbb{R}, \times)$ 和 $(\mathbb{R}^+, +)$ 不可能同构，因为前者中的元素 $-1$ 的阶为 $2$ ，但在后者中不存在阶为2的元素。

让我们以一个目前不予证明的命题结束这一节：

命题

$G$ 是一个阶数为 $n$ 的有限群，设 $S = \{s_1, s_2,...,s_m\}$ 是 $G$ 的生成元集。令 $H$ 是另一个群且 $R = \{r_1, r_2,...,r_m\}$ 是 $H$ 的生成元集。如果对于 $G$ 中的 $s_i$ 成立的某个关系当 $s_i$ 被 $r_i$ 替换时在 $H$ 中也成立，那么就存在（唯一的）同构 $\varphi: G \rightarrow H$ 使得 $s_i \mapsto r_i$ （即 $\varphi(s_i) = r_i$ )

这个命题实际上和向量空间中的同构概念有关的命题十分相似：

$V$ 是一个 $n$ 维的向量空间，它有一个基 $S$ 。 $W$ 是另一个向量空间。现在指定一个线性变换 $T: V \rightarrow W$ 使得 $S$ 被映射到 $R \subseteq W$ 。如果 $W$ 的维度也是 $n$ 且 $R$ 张成（spans）W，我们就称 $V$ 和 $W$ 是同构的。

举例

$D_{2n} = \langle r, s \mid r^n = s^2 = 1, sr = r^{-1}s \rangle$ ，现在设 $H$ 是一个包含元素 $a, b$ 的群且满足关系式 $a^n = 1, b^2 = 1, ba = a^{-1}b$ 。此时便有 $D_{2n} \cong H$ 。从 $D_{2n}$ 到 $H$ 的同构是 $\varphi: D_{2n} \rightarrow H$ 满足 $\varphi(r) = a, \varphi(s) = b$ 。

群作用

定义

一个群 $G$ 对于某个集合 $A$ 的群作用（group aciton）是指一个变换： $G \times A \rightarrow A$ ，记作 $g \cdot a, \ \forall g \in G, a \in A$ ，且满足下面的性质：

$g_1 \cdot (g_2 \cdot a) = (g_1 g_2) \cdot a, \ \forall g_1, g_2 \in G, a \in A$ 。

$1 \cdot a = a, \ \forall a \in A$ 。
此时我们称 $G$ 是一个作用在集合 $A$ 上的群。

值得注意的是 $g \cdot a$ 中的 $\cdot$ 并不一定是二元运算，这只是个符号。之后在不引起歧义时我们都将记作 $ga$ 。而式中的 $g_1g_2$ 和往常一样，是对 $g_1$ 和 $g_2$ 进行群 $G$ 上定义的二元运算。

接下来，我们将进一步研究群作用的性质，为了方便记录，我们先任选 $g \in G$ ，并定义 $\sigma_g: A \rightarrow A$ ， $\sigma_g(a) = g \cdot a$ 。这个函数有两个重要的性质：

对任一 $g \in G$ ， $\sigma_g$ 是 $A$ 的一个排列。为证明这一点，只需说明存在其逆元 $\sigma_{g^{-1}}: A \rightarrow A$ ，使得 $\sigma_g \circ \sigma_{g^{-1}} = \sigma_{g^{-1}} \circ \sigma_g = I$ ，其中 $I$ 是单位变换。可以考察下面这个连等式：
$(\sigma_g \circ \sigma_{g^{-1}})(a) = \sigma_g(\sigma_{g^{-1}}(a)) = g^{-1} \cdot (g \cdot a) = (gg^{-1}) \cdot a = 1 \cdot a = a$
故 $\sigma_g$ 存在右逆元。左逆元的情况类似，在此不赘述。

函数 $G \rightarrow S_A$ ，定义为 $g \mapsto \sigma_g$ 是同态。为证明这一点，我们先定义 $\varphi: G \rightarrow S_A$ 令 $\varphi(g) = \sigma_g$ 。注意到 $S_A$ 中定义的运算是函数复合。考察下面这个连等式：
$\begin{aligned} \varphi(g_1g_2)(a) &= \sigma_{g_1g_2}(a) = (g_1g_2)(a) = g_1 \cdot (g_2 \cdot a) = \sigma_{g_1}(\sigma_{g_2}(a)) \\ &= (\varphi(g_1) \circ \varphi(g_2))(a) \end{aligned}$

以上的 $a \in A$ 都是任取的，这样就得到了这两个性质。

举例

以下提及的集合 $A$ 都是非空的。

$ga = a$ 。这个群作用被称为平凡作用（trivial action）。它对应的排列即是单元排列；它关联的函数 $G \rightarrow S_A$ 被称为平凡同态（trivial homomorphism），其将任何 $G$ 中的元素映射到 $S_A$ 上的幺元。
对于向量空间 $V(F^n)$ 和乘法群 $F^{\times}$ 有群作用 $f(v_1, v_2,...,v_n) = (fv_1, fv_2,...,fv_n)$ 。其中 $fv_i$ 定义为域 $F$ 上的乘法。
对称群 $S_A$ 对 $A$ 的作用 $\sigma \cdot a = \sigma(a)$ 。它对应的排列是从 $S_A$ 映射到自身的单位变换。
二面体群 $D_{2n}$ 对序数集 $\{1, 2,...,n\}$ 的作用 $(\alpha, i) \mapsto \sigma_{\alpha}(i)$ 。
群 $G$ 对自身的作用 $g \cdot a = ga$ 被称为左规则作用（left regular action）。