高等代数理论基础62：标准正交基

标准正交基

正交向量组

定义：若欧氏空间V中一组非零的向量两两正交,则称为一正交向量组

注：

1.由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组

2.正交向量组线性无关

设正交向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 有线性关系

$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0$

用 $\alpha_i$ 与等式两边作内积可得 $k_i(\alpha_i,\alpha_i)=0$

由 $\alpha_i\neq 0$ 有 $(\alpha_i,\alpha_i)\gt 0$

故 $k_i=0(i=1,2,\cdots,m)$

故 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 线性无关

3.在n维欧式空间中,两两正交的非零向量不能超过n个

标准正交基

定义：在n维欧式空间中,由n个向量组成的正交向量组称为正交基,由单位向量组成的正交基称为标准正交基

对一组正交基进行单位化可得一组标准正交基

设 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 是一组标准正交基, $(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=\begin{cases}1\quad i=j\\0\quad i\neq j\end{cases}$

一组基为标准正交基的充要条件为它的度量矩阵为单位矩阵

注：n维欧式空间中存在一组基,它的度量矩阵是单位矩阵,故在n维欧式空间中,标准正交基是存在的

向量的坐标

$\alpha=(\varepsilon_1,\alpha)\varepsilon_1+(\varepsilon_2,\alpha)\varepsilon_2+\cdots+(\varepsilon_n,\alpha)\varepsilon_n$

设 $\alpha=x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+\cdots+x_n\varepsilon_n$

用 $\varepsilon_i$ 与等式两边作内积可得

$x_i=(\varepsilon_i,\alpha)(i=1,2,\cdots,n)$

内积表达式

设 $\alpha=x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+\cdots+x_n\varepsilon_n$

$\beta=y_1\varepsilon_1+y_2\varepsilon_2+\cdots+y_n\varepsilon_n$

则 $(\alpha,\beta)=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n=X'Y$

标准正交基求法

定理：n维欧式空间中任一正交向量组都可扩充成一组正交基

证明：

$设\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m是一正交向量组$

$对n-m作数学归纳法$

$n-m=0时,\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m即一组正交基$

$假设n-m=k时定理成立$

$即可找到向量\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_k使得$

$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m,\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_k成为一组正交基$

$下证n-m=k+1的情形$

$\because m\lt n$

$\therefore 一定有向量\beta不能被\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m线性表出$

$作向量\alpha_{m+1}=\beta-k_1\alpha_1-k_2\alpha_2-\cdots-k_m\alpha_m$

$其中k_1,k_2,\cdots,k_m是待定系数$

$用\alpha_i与\alpha_{m+1}作内积,可得$

$(\alpha_i,\alpha_{m+1})=(\beta,\alpha_i)-k_i(\alpha_i,\alpha_i)(i=1,2,\cdots,m)$

$取k_i={(\beta,\alpha_i)\over (\alpha_i,\alpha_i)}(i=1,2,\cdots,m)$

$有(\alpha_i,\alpha_{m+1})=0(i=1,2,\cdots,m)$

$由\beta的选择可知\alpha_{m+1}\neq 0$

$\therefore \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m,\alpha_{m+1}是一正交向量组$

$由归纳假设,\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m,\alpha_{m+1}可扩充成一正交基\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：定理的证明即扩充正交向量组的方法,若从任一非零向量出发,逐个地扩充,最后即得一组正交基,再单位化即得一组标准正交基

Schmidt正交化方法

定理：对n维欧式空间中任一组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ ,都可找到一组标准正交基 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 使得

$L(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_i)=L(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_i),i=1,2,\cdots,n$

证明：

$设\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n是一组基$

$取\eta_1={1\over|\varepsilon_1|}\varepsilon_1$

$假定已求出\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_m,它们是单位正交的$

$且L(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_i)=L(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_i),i=1,2,\cdots,m$

$下面求\eta_{m+1}$

$\because L(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_m)=L(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_m)$

$\therefore \varepsilon_{m+1}不能被\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_m线性表出$

$作向量\xi_{m+1}=\varepsilon_{m+1}-\sum\limits_{i=1}^m(\varepsilon_{m+1},\eta_i)\eta_i$

$显然,\xi_{m+1}\neq 0且(\xi_{m+1},\eta_i)=0,i=1,2,\cdots,m$

$令\eta_{m+1}={\xi_{m+1}\over |\xi_{m+1}|}$

$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_m,\eta_{m+1}即一单位正交向量组$

$同时L(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_{m+1})=L(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{m+1})$

$由归纳法原理,定理得证\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：定理中 $L(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_i)=L(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_i),i=1,2,\cdots,n$ 即由基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 到基 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 的过渡矩阵是上三角形的

例：将 $\alpha_1=(1,1,0,0),\alpha_3=(-1,0,0,1)$

$\alpha_2=(1,0,1,0),\alpha_4=(1,-1,-1,1)$

变成单位正交向量组

解：

$首先正交化,得$

$\beta_1=\alpha_1=(1,1,0,0)$

$\beta_2=\alpha_2-{(\alpha_2,\beta_1)\over (\beta_1,\beta_1)}\beta_1=({1\over 2},-{1\over 2},1,0)$

$\beta_3=\alpha_3-{(\alpha_3,\beta_1)\over (\beta_1,\beta_1)}\beta_1-{(\alpha_3,\beta_2)\over (\beta_2,\beta_2)}\beta_2=(-{1\over 3},{1\over 3},{1\over 3},1)$

$\beta_4=\alpha_4-{(\alpha_4,\beta_1)\over (\beta_1,\beta_1)}\beta_1-{(\alpha_4,\beta_2)\over (\beta_2,\beta_2)}\beta_2-{(\alpha_4,\beta_3)\over (\beta_3,\beta_3)}\beta_3=(1,-1,-1,1)$

$再单位化,得$

$\eta_1=({1\over \sqrt{2}},{1\over \sqrt{2}},0,0)$

$\eta_2=({1\over \sqrt{6}},-{1\over \sqrt{6}},{2\over \sqrt{6}},0)$

$\eta_3=(-{1\over \sqrt{12}},{1\over \sqrt{12}},{1\over \sqrt{12}},{3\over \sqrt{12}})$

$\eta_4=({1\over 2},-{1\over 2},-{1\over 2},{1\over 2})$

正交矩阵

设 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 与 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 是欧氏空间V中的两组标准正交基,它们之间的过渡矩阵是 $A=(a_{ij})$

即 $(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$

因为 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 是标准正交基,故 $(\eta_i,\eta_j)=\begin{cases}1\quad i=j\\0\quad i\neq j\end{cases}$

矩阵A的各列即 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 在标准正交基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 下的坐标

$a_{1i}a_{1j}+a_{2i}a_{2j}+\cdots+a_{ni}a_{nj}=\begin{cases}1\quad i=j\\0\quad i\neq j\end{cases}$

为矩阵列与列之间的关系

即 $A'A=E或A^{-1}=A'$

定义：对n级实数矩阵A,若A'A=E,则称A为正交矩阵

由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,反之,若第一组基是标准正交基,同时过渡矩阵是正交矩阵,则第二组基一定也是标准正交基

注： $A'A=E$ ,故 $AA'=E$

即 $a_{i1}a_{j1}+a_{i2}a_{j2}+\cdots+a_{in}a_{jn}=\begin{cases}1\quad i=j\\0\quad i\neq j\end{cases}$

为行与行之间的关系,和矩阵列与列之间的关系等价

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