初赛答案
初略写了一遍竞赛预赛的题，总体有着试题难度逐年递增，奇数届难于偶数届的规律，而且每出一次，相关题目就被各大高校考研试题相模仿，在此将其汇总，以便体会难度，思路与考研试题的区别。

第一届（2009）

二、设 $\mathbb{C}^{n\times n}$ 是 $n\times n$ 复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域 $\mathbb{C}$ 上的线性空间， $F=\left(\begin{array}{ccccc} 0&0&\ldots&0&-a_n\\ 1&0&\ldots&0&-a_{n-1}\\ 0&1&\ldots&0&-a_{n-2}\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ 0&0&\ldots&1&-a_1\end{array}\right)$
(1)假设 $A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{array}\right)$ 若 $AF=FA$ ，证明： $A=a_{n1}F^{n-1}+a_{n-1,1}F^{n-2}+\ldots+a_{21}F+a_{11}E$ ;
(2)求 $\mathbb{C}^{n\times n}$ 的子空间 $C(F)=\{X\in\mathbb{C}^{n\times n}|FX=XF\}$ 的维数

三、假设 $V$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间(n>0)， $f,g$ 是 $V$ 上的线性变换，如果 $fg-gf=f$ ，证明： $f$ 的特征值都是0，且 $f,g$ 有公共的特征向量。

第二届（2010）

二、设 $B=\left(\begin{array}{ccc} 0&10&30\\ 0&0&2010\\ 0&0&0\end{array}\right)$ 证明： $X^2=B$ 无解，这里 $X$ 为三阶未知复方阵。

六、设 $A$ 为 $n\times n$ 实矩阵(未必对称),对任一 $n$ 维实向量 $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n),\alpha A\alpha^T\geq 0$ (这里 $\alpha^T$ 表示 $\alpha$ 的转置)，且存在 $n$ 维实向量 $\beta$ 使得 $\beta A\beta^T=0$ 同时对任一的 $n$ 维实向量 $x$ 和 $y$ ，当 $xAy^T\not=0$ 时有 $xAy^T+yAx^T\not=0$ 证明：对任意 $n$ 维实向量 $v$ 都有 $vA\beta ^T=0$

第三届(2011)

三、设 $\mathbb{F}^{n\times n}$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维列空间， $\sigma:\mathbb{F}^n\rightarrow \mathbb{F}^n$ 是一个线性变换，若 $\forall A\in M_n(\mathbb{F}),\sigma(A\alpha)=A\sigma(\alpha),(\forall \alpha\in V)$ 证明： $\sigma=\lambda\cdot id_{\mathbb{F^n}}$ 其中 $\lambda$ 是 $\mathbb{F}$ 中的某个数， $id_{\mathbb{F^n}}$ 表示恒同变换。

六、设 $A$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶方阵，证明： $A$ 相似于 $\left(\begin{array}{cc} B&0\\ 0&C\end{array}\right)$ ，其中 $B$ 是可逆矩阵， $C$ 是幂零阵，即存在 $m$ 使得 $C^m=0$
提示：注意并未说是复数域上

第四届(2012)

设 $A,B,C$ 均为实 $n$ 阶正定矩阵， $P(t)=At^2+Bt+C,f(t)=det(P(t))$ 其中 $t$ 为未定元， $det(P(t))$ 表示 $P(t)$ 的行列式，若 $\lambda$ 为 $f(t)$ 的根，试证明： $Re(\lambda)<0$ 这里 $Re(\lambda)$ 表示 $\lambda$ 的实部

已知实矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc} 2&2\\ 2&a\end{array}\right)，B=\left(\begin{array}{cc} 4&b\\ 3&1\end{array}\right)$ 证明：
(1)矩阵方程 $AX=B$ 有解但 $BY=A$ 无解的充要条件是 $a\not=2,b=\frac{4}{3}$
(2) $A$ 相似于 $B$ 的充要条件是 $a=3,b=\frac{2}{3}$
(3) $A$ 合同于 $B$ 的充要条件是 $a<2,b=3$

第五届(2013)

二、设 $n$ 阶方阵 $B(t)$ 和 $n\times 1$ 矩阵 $b(t)$ 分别为 $B(t)=(b_{ij}(t))$ 和 $b(t)=\left(\begin{array}{c} b_1(t)\\ \ldots\\ b_n(t)\end{array}\right)$ ，其中 $b_{ij}(t),b_i(t)$ 均为关于 $t$ 的实系数多项式， $i,j=1,2,\ldots,n$ 记 $d(t)$ 为 $B(t)$ 的行列式， $d_i(t)$ 为用 $b(t)$ 替代 $B(t)$ 的第 $i$ 列后所得到的 $n$ 阶矩阵的行列式。若 $d(t)$ 有实根 $t_0$ 使得 $B(t_0)X=b(t_0)$ 成为关于 $X$ 的相容线性方程组，试证明: $d(t),d_1(t),\ldots,d_n(t)$ 必有次数 $\geq 1$ 的公因式。

六、设 $\mathbb{R}^{n\times n}$ 为 $n$ 阶实方阵全体， $E_{ij}$ 为 $(i,j)$ 位置元素为1，其余位置元素为 $0$ 的 $n$ 阶方阵， $i,j=1,2,\ldots,n$ 让 $\Gamma_r$ 为秩等于 $r$ 的实 $n$ 阶方阵全体， $r=0,1,2,\ldots,n$ 并让 $\phi:\mathbb{R^{n\times n}}\rightarrow\mathbb{R^{n\times n}}$ 为可乘映照，即满足： $\phi(AB)=\phi(A)\phi(B),\forall A,B\in \mathbb{R^{n\times n}}$ ,试证明：
(1) $\forall A,B\in\Gamma_r$ 秩 $\phi(A)=$ 秩 $\phi(B)$
(2)若 $\phi(0)=0$ 且存在某个秩为1的矩阵 $W$ 使得 $\phi(W)\not=0$ 则必存在可逆方阵 $R$ 使得 $\phi(E_{ij})=RE_{ij}R^{-1}$ 对一切 $E_{ij}$ 皆成立， $i,j=1,2,\ldots,n$

第六届(2014)

三、设 $V$ 为闭区间 $[0,1]$ 上全体实函数构成的实向量空间，其中向量加法与纯量乘法均为通常的。 $f_1,\ldots,f_m\in V$ 证明以下两条等价：
(1) $f_1,\ldots,f_n$ 线性无关
(2) $\exists a_1,\ldots,a_n\in [0,1]$ 使得 $det(f_i(a_j))\not=0$

五、设 $m$ 为给定的正整数，证明：对任何的正整数 $n,l$ 存在 $m$ 阶方阵 $X$ 使得 $X^n+X^l=I+\left(\begin{array}{cccccc} 1&0&0&\ldots&0&0\\ 2&1&0&\ldots&0&0\\ 3&2&1&\ldots&0&0\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ m-1&m-2&m-3&\ldots&1&0\\ m&m-1&m-2&\ldots&2&1\end{array}\right)$

第七届(2015)

$A$ 为4阶复方阵，它满足关于迹的关系式 $trA^i=i,i=1,2,3,4$ 求 $A$ 的行列式

设 $A$ 为 $n$ 阶实方阵，其 $n$ 个特征值皆为偶数，试证明关于 $X$ 的矩阵方程 $X+AX-XA^2=0$ 只有零解。

第八届(2016)

设 $n$ 为奇数， $A,B$ 为两个实 $n$ 阶方阵，且 $BA=0$ 记 $A+J_A$ 的特征值集合为 $S_1$ ， $B+J_B$ 的特征值集合为 $S_2$ 其中 $J_A,J_B$ 分别表示 $A,B$ 的 $Jordan$ 标准型，求证 $0\in S_1\cup S_2$

设 $A_1,\ldots,A_{2017}$ 为 $2016$ 阶实方阵，证明关于 $x_1,\ldots,x_{2017}$ 的方程 $det(x_1A_1+\ldots+x_{2017}A_{2017})=0$ 至少有一组非零实数解，其中 $det$ 表示行列式

第九届(2017)

设 $\Gamma=\{W_1,W_2,\ldots,W_r\}$ 为 $r$ 个各不相同的可逆 $n$ 阶复方阵构成的集合，若该集合关于矩阵乘法封闭(即 $\forall M,N\in\Gamma$ ,有 $M,N\in\Gamma$ )证明： $\sum_{i=1}^rW_i=0$ 当且仅当 $\sum_{i=1}^rtr(W_i)=0$ 其中 $tr(W_i)$ 表示 $W_i$ 迹

给定非零实数 $a$ 及实 $n$ 阶反对称矩阵 $A$ (即 $A'=-A$ )记矩阵有序对集合 $T$ 为 $T=\{(X,Y)|X\in\mathbb{R^{n\times n}},Y\in\mathbb{R^{n\times n}},XY=aI+A\}$ 其中 $I$ 为 $n$ 阶单位阵， $\mathbb{R^{n\times n}}$ 为所有实 $n$ 阶方阵构成的集合，证明：任取 $T$ 中两元： $(X,Y)$ 和 $(M,N)$ 必有 $XN+Y^TM^T\not=0$

第十届(2018)

$A=(a_{ij})_{n\times n}$ 为 $n$ 阶实方阵，满足
(1) $a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{n n}=a>0$
(2)对每个 $i(i=1,\ldots,n)$ 有 $\sum_{j=1}^{n}\left|a_{i j}\right|+\sum_{j=1}^{n}\left|a_{j i}\right|<4 a$ 求 $f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) A \left( \begin{array}{c}{x_{1}} \\ {\vdots} \\ {x_{n}}\end{array}\right)$ 的规范形