概率论基础

1.样本空间：认识一个随机现象，首先要能罗列出它的一切可能发生的基本结果。

2.随机事件：随机现象的某些基本结果组成的集合称为随机事件。

特点：a.随机事件是样本空间的一个子集；

b.随机事件A发生当且仅当A中某一基本结果发生

事件关系：包含、相等、互不相容

事件运算：对立、并、交、差(与集合的余、并、交、差是一样的)

基本事件：a. 必然事件：基本空间的最大子集，也就是基本空间，称为必然事件

b.不可能事件：基本空间最小子集，也就是空集

3.事件概率：非负性、正则性(必然事件的概率=1)、可加性(互不相容事件概率相加=事件并集的概率)

4.排列组合：

$A_n^m=n(n-1)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$

$C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n!}{m! (n-m)!}=C_n^{n-m}=\left( \begin{matrix} n \\m \end{matrix} \right)$

二项式展开：

$(a+b)^n = \sum^{n}_{r=0}C^r_na^{n-r}b^r$

一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生可能性所给出的个人信念，这样的概率称为主观概率。 ————贝叶斯

5.概率得性质：

1）对任意事件A、B，若 $A\supset B$ ，则： $P(A-B) = P(A)-P(B)$

2）对任意事件A、B，有： $P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(AB)$

3）对任意事件A、B、C，有： $P(A\cup B \cup C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$

6.独立性：将相互独立事件中任一部分换为对立事件，所得的诸事件仍为相互独立事件

7.伯努利试验(独立重复试验)：n次伯努利试验概率计算类似于二项展开式

8.全概率公式的应用：敏感问题的调查，设置如下两个问题和答卷：

A:你的生日是否在7月1日前？

B:你是否看过淫秽刊物？

答卷

设置一个装有红、白两种颜色小球的罐子，被调查者抽到白球，回答A,反之，回答B。

答：当有较多的人参加调查后，设收回n张答卷，k张回答为“是”，则：P(是)=k/n。回答“是”的答卷中有两种情况：

1. 抽到白球，回答了问题A的人，这是一个条件概率：P(是|白球)=0.5。在抽到白球的条件下，回答“是”的可能性为0.5，因为7月1日大概是1年的中间。

2.抽到红球，回答了问题B的人，这是也一个条件概率：P(是|红球)=p

根据全概率公式，得：k/n = 0.5*0.5+p*0.5。

9.随机变量

假如一个变量在数轴上的取值依赖于随机现象的基本结果，则称此变量为随机变量(区分随机事件和随机变量)，换句话说，随机取值的变量

10.设X为一个随机变量，对任意实数x，事件“ $X \leq x$ ”的概率是x的函数，记为

$F(x) = P(X\leq x)$

这个函数称为X的分布函数。

11.泊松分布是二项分布的近似，计算方便。

12.连续随机变量：p(x)为连续随机变量X的概率分布，p(x)这样的函数称为概率密度函数。所以，概率密度函数就是用来描述随机变量X的概率分布。

对任意两个实数a与b，其中a<b，且a可为负无穷，b可为正无穷，X在区间[a,b]上取值的概率为曲线p(x)在该区间上曲边梯形的面积，即：

$P(a \leq X \leq b) = \int_a^bp(x)dx$

则称概率密度函数p(x)为连续随机变量X的概率分布。

连续随机变量X的分布函数F(x)可以用其密度函数p(x)表示出来，即

$F(x) = P(X \leq x)=\int^x_{-\infty}p(x)dx$

性质：a. 连续随机变量X的分布函数F(X)是连续函数

b. 连续随机变量X仅取一点的概率为0，即P(X=x) = 0

12.正态分布：概率密度函数为，