#定律：

* 对于矩阵表示，(括号) 可以在矩阵中任意位置做绑定

$E_{32} * \left( E_{21} * A \right) = U\Rightarrow\left( E_{32} * E_{21} \right) * A = U$

* 举例：

方程组 $\begin{cases}x+2y+z=2\\3x+8y+z = 12\\4y+z=2\\\end{cases}$ $转换为矩阵(A x = b)可以得到： $A_{left}=\left[\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\3 & 8 & 0 \\0 & 4 & 1 \\\end{matrix}\right]$ , $x_{未知数}=\left[\begin{matrix}x\\ y\\ z\\\end{matrix}\right]$ , $b=\left[\begin{matrix}2\\ 12\\ 2\\\end{matrix}\right]$

带入矩阵后，对A进行消元(delimulation, pivot->元),然后再把消元后的矩阵回代（back substitution）方程组，可以求解出x,y,z的结果。

# 举例

## 1.一般方程组带入矩阵后消元：

$A_{左边}=\left[\begin{matrix}1,first_{pivot} & 2 & 1 \\3 & 8 & 1 \\0 & 4 & 1 \\\end{matrix}\right]$ ,

* 第一行对第二行消元, 乘以 $E_{2,1}$ 得到 $U_{2,1}=\left[\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\0 & 2 & -2 \\0 & 4 & 1 \\\end{matrix}\right]$ , 此时b变成了 $\left[ \begin{matrix}2\\ 6\\ 2\\ \end{matrix} \right]$

具体操作为：``` 第二行减去 (第一行乘以3),第三行保持不变 ``` 标记为矩阵 $E_{21}=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\right]$ 对A进行乘操作

* 第二行对第三行消元(pivot), 乘以 $E_{3,2}$ 得到 $U_{3,2}=\left[\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\0 & 2 & -2 \\0 & 0 & 5 \\\end{matrix}\right]$ , 此时b变成了 $\left[ \begin{matrix}2\\ 6\\ -10\\ \end{matrix} \right]$

具体操作为：``` （第三行乘以-2）减去第二行,第一行保持不变 ``` 标记为矩阵 $E_{32} = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ \end{matrix}\right]$ 乘以 $U_{2,1}$ 操作

* 对于矩阵

$E_{21}=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\right],E_{32} = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ \end{matrix}\right],A_{左边}=\left[\begin{matrix}1,first_{pivot} & 2 & 1 \\3 & 8 & 1 \\0 & 4 & 1 \\\end{matrix}\right]$

三者相乘，最终得到 $U=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 5 \\ \end{matrix}\right]$

## 2. 回代

* 将矩阵重新带入具有未知数的方程组，得到

$\begin{cases}x + 2y + z = 2\\2y - 2z = 6\\5z=-10\\\end{cases}$ , 可以求解出方程组。

# 总结：

由于 $E_{2,1}, E_{3,2}$ ,对 $A_{left}$ 乘以循序可以相互换而不影响最终的结果，所以矩阵的乘法具有交换律，就是说括号可以随处绑定。 __注意__：顺序可以变，但是位置不可以变。

### 矩阵的乘法公式：

设A为m x p的矩阵，B为p x n的矩阵，那么称的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作C=AB，其中矩阵C中的第 i行第j列元素可以表示为：

$\left(AB\right)_{ij} = \sum_{k=1}^p a_{ik}b_{kj} =a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + ... + a_{ip}b_{pj}$

以一个矩阵的i行乘以第二个矩阵的j列，得到结果居中中的第i行j列,带入ij分别为1，则比较清晰的理解问题。

## 行列交换：

### 对于原始矩阵

$M_{origin} = \left[ \begin{matrix}a_{j} & b \\c_{j} & d \\\end{matrix} \right]$

* 行变换Permutation

$P_{left Permutation} = \left[ \begin{matrix}0_{i} & 1_{i} \\ 1 & 0 \\\end{matrix} \right]$

$P_{left} * M_{origin}$ $\Rightarrow$ $\left[ \begin{matrix}0_{i} & 1_{i} \\1 & 0 \\\end{matrix} \right]$ * $\left[ \begin{matrix}a_{j} & b \\c_{j} & d \\\end{matrix} \right]$

$\Rightarrow M_{new,byRowRotation}=\left[ \begin{matrix}c = 0_{i} * a_{j} + 1_{i} * c_{j} & d\\a & b\\\end{matrix} \right]$

即 $\left[ \begin{matrix}c & d\\a & b\\\end{matrix} \right]$

线性代数，矩阵交换律

线性代数，矩阵交换律

#定律：

* 对于矩阵表示，(括号) 可以在矩阵中任意位置做绑定

* 举例：

# 举例

## 1.一般方程组带入矩阵后消元：

* 第一行对第二行消元, 乘以 $E_{2,1}$ 得到 $U_{2,1}=\left[\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\0 & 2 & -2 \\0 & 4 & 1 \\\end{matrix}\right]$ , 此时b变成了 $\left[ \begin{matrix}2\\ 6\\ 2\\ \end{matrix} \right]$

* 第二行对第三行消元(pivot), 乘以 $E_{3,2}$ 得到 $U_{3,2}=\left[\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\0 & 2 & -2 \\0 & 0 & 5 \\\end{matrix}\right]$ , 此时b变成了 $\left[ \begin{matrix}2\\ 6\\ -10\\ \end{matrix} \right]$

* 对于矩阵

## 2. 回代

* 将矩阵重新带入具有未知数的方程组，得到

# 总结：

## 行列交换：

### 对于原始矩阵

* 行变换Permutation

* 列变换Permutation

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线性代数，矩阵交换律

#定律：

* 对于矩阵表示，__(括号)__ 可以在矩阵中任意位置做绑定

* 举例：

# 举例

## 1.一般方程组带入矩阵后消元：

* __第一行对第二行消元__, 乘以 得到 , 此时b变成了

* __第二行对第三行消元(pivot)__, 乘以得到, 此时b变成了

* 对于矩阵

## 2. 回代

* 将矩阵重新带入具有未知数的方程组，得到

# 总结：

## 行列交换：

### 对于原始矩阵

* 行变换Permutation

* 列变换Permutation

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* 对于矩阵表示，(括号) 可以在矩阵中任意位置做绑定

* 第一行对第二行消元, 乘以 $E_{2,1}$ 得到 $U_{2,1}=\left[\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\0 & 2 & -2 \\0 & 4 & 1 \\\end{matrix}\right]$ , 此时b变成了 $\left[ \begin{matrix}2\\ 6\\ 2\\ \end{matrix} \right]$

* 第二行对第三行消元(pivot), 乘以 $E_{3,2}$ 得到 $U_{3,2}=\left[\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\0 & 2 & -2 \\0 & 0 & 5 \\\end{matrix}\right]$ , 此时b变成了 $\left[ \begin{matrix}2\\ 6\\ -10\\ \end{matrix} \right]$