WIMP

简介

WIMP是弱相互作用大质量粒子(Weakly Interacting Massive Particle)的简称，它是目前最流行、最被看好的暗物质粒子候选者，也是宇宙学 $\small{\Lambda\text{CDM}}$ 模型中的冷暗物质成分，具有稳定性、电磁中性、色中性和非相对论性。它的质量量级被估计在 $\small{10^2\text{GeV}/c^2}$ 左右，而目前的粒子加速器仍没有能力达到这个能量尺度。

早期宇宙与WIMP热遗迹

尽管目前加速器对产生WIMP还无能为力，但是宇宙作为一个天然的巨型实验室，(根据大爆炸宇宙学模型)在早期是有足够高的能量来产生WIMPs。随着宇宙的膨胀降温，这个产生过程一直持续到温度能标低于WIMP的质量的时刻。由于暗物质一直存在至今，说明它在宇宙中是很稳定的（最轻的暗物质粒子没有进一步衰变成标准模型粒子），因而唯一能让它数量发生改变的过程就是暗物质粒子相互湮灭（当然这里已经假设WIMPs彼此之间可以发生湮灭） $\small{\chi\chi\rightarrow SMSM}$ 湮灭事例率 $\small{\Gamma}$ 与湮灭截面(pair annihilation cross-section) $\small{\sigma_{\text{ann}}}$ ，相对运动速率 $\small{v}$ 和WIMP数密度 $\small{n_\chi}$ 相关: $\small{\Gamma = \langle\sigma_{\text{ann}}v\rangle n_\chi}$ （假设在宇宙原初热浴时期WIMP与整个体系是热平衡的）这个湮灭过程会带来粒子数密度的变化，而描绘这个粒子数密度非平衡态过程的Boltzmann方程 $\small{^{[1]}}$ 为 $\small{a^{-3}\frac{\text{d}(n_\chi a^3)}{\text{d} t} = \langle\sigma_{\text{ann}}v\rangle[(n^0_{\chi})^2 - (n_{\chi})^2]}$ 其中 $\small{a}$ 是宇宙尺度因子，上角标 $\small{^0}$ 表示热平衡时的值，有的文献(例如[2])中也会将Boltzmann方程写成 $\small{\frac{\text{d}n_\chi}{\text{d}t} + 3Hn_\chi = - \langle\sigma_{\text{ann}}v\rangle[(n_{\chi})^2 - (n^0_{\chi})^2]}$ 其中 $\small{H}$ 为Hubble常数。显见这两个表达式是完全等价的 $\small{^1}$ 。

随着(早期)宇宙的继续膨胀，可以由上式看出 $\small{n_\chi}$ 在不断变小，使得WIMP湮灭过程越来越难以进行，换言之暗物质粒子碰撞几率持续下降。直至当湮灭事例率达到宇宙膨胀速率水平的时候( $\small{\Gamma \simeq H}$ )，碰撞几率为 $\small{0}$ ，这个过程被“冻结”了(thermal freeze-out)而产生了所谓热遗迹(thermal relic)，这之后WIMP的共动数密度(yield, or comoving number density) $\small{Y_\chi = \frac{n_\chi}{s}}$ 就近似为常数值 $\small{^2}$ 了，暗物质粒子 $\small{\chi}$ 从其他粒子组分中退耦，此时的温度称为冻结温度 $\small{T_f}$ 。根据热力学，热平衡下各种类粒子数密度，能量密度和熵密度为 $\small{^3}$ ： $\small{n=g\int\frac{\text{d}^3\vec{p}}{(2\pi)^3}f(\vec{p}),\ \rho=g\int\frac{\text{d}^3\vec{p}}{(2\pi)^3}f(\vec{p})E(\vec{p})},\ \small{s=\frac{\rho+P}{T}}$ 由于暗物质是的非相对论性而且散射截面不是很大，所以整个退耦过程仍处在宇宙早期，而早期宇宙以辐射为主导，其物态方程为 $\small{^4}$ $\small{\rho=3P}$ 我们得到早期宇宙的主要物理参量
$\small{n=g_*\frac{\xi(3)}{\pi^2}T^3, \rho=g_*(\frac{\pi^2}{30})T^4, s=g_{*s}(\frac{2\pi^2}{45})T^3}$ 其中 $\small{g_*,g_{*s}}$ 称为有效零质量自由度（我们的推导中用到了零质量(相对论性)和零化学势的条件） $\small{^5}$ ： $\small{g_* = \sum_{i=\text{bosons}}g_i\Big(\frac{T_i}{T}\Big)^4 +\frac{7}{8}\sum_{i=\text{fermions}}g_i\Big(\frac{T_i}{T}\Big)^4}$ $\small{g_{*s} = \sum_{i=\text{bosons}}g_i\Big(\frac{T_i}{T}\Big)^3 +\frac{7}{8}\sum_{i=\text{fermions}}g_i\Big(\frac{T_i}{T}\Big)^3}$ 考虑到相对论粒子为光子和三种中微子， $\small{g_*=2+6\cdot\frac{7}{8}(\frac{T_\nu}{T_\gamma})^4}$ ， $\small{g_{*s}=2+6\cdot\frac{7}{8}(\frac{T_\nu}{T_\gamma})^3}$ ，热平衡时有 $\small{T_\nu=T_\gamma}$ ，因此 $\small{g_*=g_{*s}=7.25}$ 。
随着宇宙能量密度降低，物质开始进入非相对论状态，引入变量 $\small{x=\frac{m_{\chi}}{T}}$ ，在退耦时刻之后的WIMP平衡态数密度为(采用Maxwell-Boltzmann分布近似 $\small{^6}$ )： $\small{n_{\chi}^0 = \int\frac{\text{d}^3\vec{p}}{(2\pi)}e^{-\frac{E}{T}} = e^{-\frac{m_\chi}{T}}\Big(\frac{m_\chi T}{2\pi}\Big)^{\frac{3}{2}} = e^{-x}\frac{m_\chi^3}{(2\pi x)^{\frac{3}{2}}}}$ 可以发现，对于 $\small{\chi}$ 粒子，当 $\small{T\ll m_\chi}$ 时平衡态粒子数密度 $\small{n_\chi^0\sim T^3}$ ；当 $\small{T\gg m_\chi}$ 时平衡态粒子数密度 $\small{n_\chi^0\sim T^\frac{3}{2}e^{-\frac{m_\chi}{T}}}$ 。平衡态时共动数密度(设WIMP $\small{g_*=1}$ ) $\small{Y_\chi^0 = \frac{n_\chi^0}{s} = \frac{1}{g_*}\frac{45}{2\pi^2}\Big(\frac{x}{2\pi}\Big)^{\frac{3}{2}} \approx0.145x^{\frac{3}{2}}e^{-x}}$ 考虑到熵守恒假设，并且将变元 $\small{(n_\chi,t)}$ 转换为 $\small{(Y_\chi,x)}$ ，前述Boltzmann方程化为 $\small{^7}$ ) $\small{\frac{\text{d}Y_\chi}{\text{d}x} = \frac{s}{xH}\langle\sigma_{ann}v\rangle[(Y^0_{\chi})^2 - (Y_{\chi})^2]}$ 其中 $\small{s}$ 、 $\small{H}$ 与 $\small{x}$ 的依赖关系为 $\small{s = g_{*s}\frac{2\pi^2}{45}(\frac{m}{x})^3, \ H = \sqrt{\frac{4\pi^3 Gg_*}{45}}(\frac{m}{x})^2}$ 代入Boltzmann方程中， $\small{\frac{\text{d}Y_\chi}{\text{d}x} = \Big(\frac{\pi}{45Gg_*}\Big)^{\frac{1}{2}}g_{*s}m\frac{1}{x^2}[(Y^0_{\chi})^2 - (Y_{\chi})^2]}$

参考文献

[1] H. Murayama, Physics beyond the standard model and dark matter, arXiv: 0704.2276.
[2] G. Arcadi et al., The Waning of the WIMP? A review of models, searches, and constraints, arXiv: 1703.07364

附录（数学推导）

本节推导中均采用自然单位制，即 $\small{\hbar=c=k_B=1}$ ，这些物理符号依次为角普朗克常数、光速和Boltzmann常数。

只需要证明两个式子左边相等，导数展开即可。 $\small{\frac{1}{a^3}\frac{\text{d}(n_\chi a^3)}{\text{d}t} = \frac{1}{a^3}(\dot{n}_\chi a^3 + 3n_\chi a^2 \dot{a}) = \dot{n}_\chi + 3n_\chi \frac{\dot{a}}{a} = \frac{\text{d}n_\chi}{\text{d}t}} + 3Hn_\chi$ 最后一步用到了Hubble常数的定义。
假设宇宙在膨胀过程中总熵守恒，则粒子数密度 $\small{n}$ 与熵密度 $\small{s}$ 都在随膨胀而有一个 $\small{a^{-3}}$ 因子的变化（一般称 $\small{a^3}$ 为共动体积），因而它们的比值 $\small{ Y = \frac{n}{s} }$ 为常数，之所以说近似，是考虑到由于热运动而造成的局域密度变化。
(1) 不确定关系给出粒子的坐标不确定度 $\small{\Delta{q}}$ 与其共轭动量的不确定度满足关系 $\small{\Delta{q}\Delta{p}}\approx h$ 。自由度为 $\small{1}$ 的粒子的相格大小(由 $\small{q}$ 、 $\small{p}$ 描述的粒子运动状态，即相体积)为 $\small{h}$ 。因此三维自由粒子（这里已经假设暗物质退耦阶段的早期宇宙空间是三维的）在相体积 $\small{V\text{d}p_x\text{d}p_y\text{d}p_z}$ 中的量子态数为 $\small{\frac{V\text{d}p_x\text{d}p_y\text{d}p_z}{h^3}}$ ，而数密度则为 $\small{\frac{\text{d}p_x\text{d}p_y\text{d}p_z}{h^3}}$ 。（三维相格大小为 $\small{h^3}$ ，并且由于物理规律在空间中的平移旋转不变性， $\small{\int \text{d}q_x\text{d}q_y\text{d}q_z}$ 直接积分得到坐标体积 $\small{V}$ ）。在自然单位制之下 $\small{h=(2\pi\hbar=)2\pi}$ ，于是我们得到了积分元 $\small{\frac{\text{d}^3\vec{p}}{(2\pi)^3}}$ 。
(2) 注意到 $\small{\rho}$ 就是能量密度， $\small{s=\frac{S}{V}=\frac{1}{V}\int\frac{\text{d}U+P\text{d}V}{T}=\frac{1}{V}\int\frac{\rho \text{d}V+P\text{d}V}{T}=\frac{\rho+P}{T}}$
（几乎是从第一性原理出发）分别计算 $\small{\rho}$ 和 $\small{P}$ ，对于辐射(光子气体)，服从Bose-Einstein分布，由于黑体不断辐射和吸收光子，光子数是不守恒的（也就是说能量 $\small{E}$ 守恒但数目 $\small{N}$ 不守恒，平衡态下光子的化学势为 $\small{0}$ ）所以光子气体的统计分布为： $\small{\Big(f(\vec{p})=\Big)f(\omega, T) = \frac{g_*}{e^{\beta\varepsilon_*}-1} = \frac{g_*}{e^{\frac{\omega}{T}}-1} }$ 光子的自旋量子数为 $\small{1}$ ，自旋在动量方向上可以取两种可能值 $\small{\pm\hbar}$ (相当于左右圆偏振)，即 $\small{g_*=2}$ ，在体积 $\small{V}$ ，动量 $\small{p}$ 到 $\small{p+dp}$ 范围内，光子量子态数目为 $\small{\text{d}n_{q}(p) = \frac{4\pi V}{(2\pi)^3}p^2 \text{d}p = \frac{Vp^2}{2\pi^2}}\text{d}p$ 而 $\small{\varepsilon=(cp=)p}$ 且 $\small{\varepsilon=(\hbar\omega=)\omega}$ ，即 $\small{\varepsilon=\omega=p}$ ，平均光子数为 $\small{\text{d}n(\omega, T) = f(\omega, T)\text{d}n_{q}(\omega) = \frac{V}{\pi^2}\frac{\omega^2\text{d}\omega}{e^{\frac{\omega}{T}}-1}}$ 辐射场内部能量(Planck公式)为 $\small{U(\omega, T)\text{d}\omega = \Big( \hbar\omega\cdot \text{d}n(\omega, T) = \frac{V}{\pi^2}\frac{\hbar\omega^3\text{d}\omega}{e^{\frac{\omega}{T}}-1} = \Big) \frac{V}{\pi^2}\frac{\omega^3\text{d}\omega}{e^{\frac{\omega}{T}}-1}}$ 因此 $\small{ U = \int_0^\infty U(\omega, T)\text{d}\omega = \frac{VT^4}{\pi^2}\int_0^\infty\frac{x^3\text{d}x}{e^x-1} = \frac{\pi^2 }{15}VT^4 }$ $\small{\rho(\omega, T) = \frac{U(\omega, T)}{V} = \frac{1}{\pi^2}\frac{\omega^3}{e^{\frac{\omega}{T}}-1}, \ \rho = \frac{U}{V} = \frac{\pi^2 }{15}T^4}$ $\small{ n = \frac{1}{V}\int_0^\infty \text{d}n(\omega, T) = \frac{T^3}{\pi^2}\int_0^\infty \frac{x^2\text{d}x}{e^x-1} = \frac{2\xi(3)}{\pi^2}T^3 }$
以上，我们通过分析方法求得了辐射内能密度 $\small{\rho}$ ，下面我们将通过系综的方法重新得到这一结果，并且得到压强 $\small{P}$ 的表达式。
光子气体的巨配分函数的对数为（引入变量 $\small{x=\frac{\omega}{T}}$ ）： $\small{\ln{\Xi} = -\frac{V}{8\pi^3}\int 2\ln{(1-e^{-\frac{\omega}{T}})}\text{d}^3\vec{\omega} = -\frac{V}{\pi^2}\int_0^{\infty}\omega^2\ln{(1-e^{-\frac{\omega}{T}})\text{d}\omega} \\ \quad\ \ = -\frac{VT^3}{\pi^2}\int_0^{\infty}x^2\ln{(1-e^{-x})}\text{d}x = \frac{VT^3}{3\pi^2}\int_0^\infty\frac{x^3\text{d}x}{e^x-1} = \frac{\pi^2}{45}VT^3}$ 从而(这里 $\small{\beta=\frac{1}{T}}$ ) $\small{\rho = -\frac{1}{V}\frac{\partial}{\partial\beta}\ln{\Xi} = \frac{\pi^2}{15}T^4}$ $\small{P = - \frac{1}{\beta}\frac{\partial}{\partial V}\ln{\Xi} = \frac{\pi^2}{45}T^4}$ 比较以上两式立得 $\small{\rho = 3P}$ 。
$\Big[$ 推导过程中用到了如下积分事实： $\small{I(n) = \int_0^\infty\frac{x^n\text{d}x}{e^x-1} = \sum_{i=1}^\infty\frac{1}{i^n}\int_0^\infty y^{n-1}e^{-y}\text{d}y = \zeta(n)\Gamma(n), \ \therefore I(3) = \frac{\pi^4}{15}}$ $\small{-\int_0^{\infty}x^2\ln{(1-e^{-x})}\text{d}x = -( [\frac{x^3}{3}\ln{(1-e^{-x})}]_0^{\infty} - \frac{1}{3}\int_0^\infty\frac{x^3\text{d}x}{e^x-1}) \\ \quad= \frac{1}{3}\int_0^\infty\frac{x^3\text{d}x}{e^x-1}=\frac{1}{3}I(3)=\frac{\pi^4}{45}}$ $\small{I(n) = \zeta(n)\Gamma(n)}$ 是数学分析中的一个经典结果，其中 $\small{\zeta(z)}$ 是Riemann $\small{\zeta}$ 函数。 $\Big]$
上面一条附录给出了零质量Boson的计算结果，这里将Fermion的情况一并总结出来（与Boson唯一的区别是将分布函数 $\small{f(\vec{p})}$ 替换成Fermion的）： $\small{\text{For Boson: }\ n=g\frac{\xi(3)}{\pi^2}T^3,\ \rho=g\frac{\pi^2}{30}T^4, \ s=g\frac{2\pi^2}{45}T^3}$ $\small{\text{For Fermion: }\ n=g\frac{3}{4}\frac{\xi(3)}{\pi^2}T^3,\ \rho=g\frac{7}{8}\frac{\pi^2}{30}T^4, \ s=g\frac{7}{8}\frac{2\pi^2}{45}T^3}$
(1) $\small{E_\chi = \sqrt{m_\chi^2+p_\chi^2} \simeq m_\chi + \frac{\vec{p}_\chi^2}{m_\chi} }$
(2) 如果不采取近似，那么（正号为Fermion，符号为Boson） $\small{n_\chi^0 = \int\frac{\text{d}^3\vec{p}}{(2\pi)^3}f(\vec{p}) = \frac{4\pi g_*}{(2\pi)^3}\int_0^\infty \frac{p^2\text{d}p}{e^{\frac{E-\mu}{T}}\pm1} = \frac{g_*}{2\pi^2}\int_0^\infty \frac{p^2\text{d}p}{e^{\frac{\sqrt{m^2+p^2}-\mu}{T}}\pm1}}$ 将是一个比较难处理的积分。
设物态方程具有形式 $\small{P=w\rho}$ ，对于热物质(相对论性物质，如辐射 $\small{^4}$ ) $\small{w=\frac{1}{3}}$ 。一方面，由Friedmann方程导出式， $\small{\dot{\rho} = -\frac{3\dot{a}}{a}(\rho+P) = -\frac{4\dot{a}}{a} \ \Rightarrow\ \rho \propto a^{-3(1+w)} = a^{-4}}$ 另一方面，我们从黑体辐射公式又知道 $\small{\rho = \frac{\pi^2}{45}T^4 \propto T^4}$ 于是得到 $\small{T\propto a^{-1}}$ 还是回到Friedmann方程(这里使用第二方程)，既然我们说宇宙早期辐射主导(同时研究对象取为 $\small{\Lambda=0,k=0}$ 的Einstein-de Sitter宇宙，反正辐射绝对主导)，那么能量密度 $\small{\rho = \rho_r + \rho_m \simeq \rho_r = \rho_{r0}(\frac{a_0}{a})^{4}}$ （事实上上面的推导我们已经采用这一近似，且 $\small{a_0=a(t_0)}$ ，注意尽管 $\small{\rho\simeq\rho_r}$ 但 $\small{\rho_0 = \rho_{r0} + \rho_{m0}}$ 严格大于 $\small{\rho_{r0}}$ ），从而 $\small{\Big(\frac{\dot{a}}{a}\Big)^{2} = \frac{8\pi G\rho}{3} = \frac{8\pi G\rho_{r0}}{3}\Big(\frac{a_0}{a}\Big)^{4} = \Omega_r H_0^2 a_0^4 a^{-4}}$ $\small{\Rightarrow |a\dot{a}| = \Omega_r^{\frac{1}{2}} H_0 a_0^2 \ \ \text{or} \ \ a\text{d}a = \Omega_r^{\frac{1}{2}} H_0 a_0^2\text{d}t \quad \Rightarrow a^2 \propto t \ \ \text{or} \ \ a \propto t^{\frac{1}{2}}}$ 其中 $\small{H_0}$ 和 $\small{a_0}$ 为现在的Hubble常数和尺度因子， $\small{\Omega_r\equiv\frac{8\pi G\rho_{r0}}{3H_0^2}}$ 为现在的辐射密度参数。终于，我们导出了早期宇宙(非暴胀时期)温度与时间的关系： $\small{T \propto t^{-\frac{1}{2}} \quad \Big( t = \frac{1}{2\Omega_r^{1/2} H_0}\Big(\frac{T_0}{T}\Big)^{2} = \frac{1}{2H(T)} \Big)}$ 上式最后一个等号是由于 $\small{H^2=H^2(T) = \frac{8\pi G}{3}\rho \simeq \frac{8\pi G}{3}\rho_r = \frac{8\pi G}{3}\rho_{r0}\Big(\frac{T}{T_0}\Big)^4 = \Omega_r H_0^2 \Big(\frac{T}{T_0}\Big)^4}$ 并且我们可以得到 $\small{ \frac{\text{d}t}{\text{d} x} = \frac{1}{m}\frac{\text{d}t}{\text{d}(T^{-1})} = \frac{1}{m}\frac{T_0^2}{\Omega_r^{1/2} H_0}\frac{1}{T} = \frac{1}{xH(T)} }$ 这里 $\small{x=\frac{m}{T}}$ ，把这个关系应用到我们需要的共动数密度导数上， $\small{\frac{\text{d}Y_\chi}{\text{d}x} = \frac{\text{d}t}{\text{d}x}\frac{\text{d}Y_\chi}{\text{d}t} = \frac{1}{xH(T)}\cdot\frac{1}{s}\Big(\frac{\text{d}n_\chi}{\text{d}t} - Y_\chi\frac{\text{d}s}{\text{d}t}\Big) }$ 这里括号中第一项将直接代入关于 $\small{n_\chi}$ 的Boltzmann方程，第二项基于熵守恒 $\small{0 = \frac{\text{d}S}{\text{d}t} = \frac{\text{d}(sa^3)}{\text{d}t} = a^3\frac{\text{d}s}{\text{d}t}+ 3a^2s\frac{\text{d}a}{\text{d}t} \Rightarrow \frac{\text{d}s}{\text{d}t} + 3Hs = 0}$ 从而 $\small{\frac{\text{d}Y_\chi}{\text{d}x} = \frac{1}{xHs}(-3Hn_\chi + \langle\sigma_{ann}v\rangle[(n^0_{\chi})^2 - (n_{\chi})^2] - Y_\chi(-3Hs)) \\ \quad\ \ \ = \frac{s}{xH}\langle\sigma_{ann}v\rangle[(Y^0_{\chi})^2 - (Y_{\chi})^2]}$

最后编辑于：2021.01.08 17:13:26

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