线性代数——矩阵

行列式

1. 定义

设有 $n^{2}$ 个数，排成 $n$ 行 $n$ 列的数表
$\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{matrix}$
做出表中位于不同行不同列的 $n$ 个数的乘积，并冠以符号 $(-1)^{t}$ ，得到形如 $(-1)^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}$ 的项，其中 $p_{1}p_{2}\cdots p_{n}$ 为自然数 $1,2,\cdots,n$ 的一个排列， $t$ 为这个排列的逆序数，这样的项共有 $n!$ 项，所有这 $n!$ 项的代数和 $\sum(-1)^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}$ 称为 $n$ 阶行列式，记作
$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$
简记作 $det(a_{ij})$ ，其中数 $a_{ij}$ 为行列式 $D$ 的 $(ij)$ 元。

2. 余子式和代数余子式

在 $n$ 阶行列式中，把 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列划去后，留下来的 $n-1$ 阶行列式叫作 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$ ，记 $A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij},$ $A_{ij}$ 叫做 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 的代数余子式。

定理 1 $n$ 阶行列式
$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$
等于它的任一行（对列同样适用）所有元素与他们各自对应的代数余子式的乘积之和，即 $|D| = a_{k1}A_{k1} + a_{k2}A_{k2}+\cdots +a_{kn}A_{kn} \qquad (k=1,2,\cdots ,n)$

4. 克拉默法则

如果含有 $n$ 个未知数 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 的 $n$ 个线性方程组
$\left\{\begin{matrix} y_{1}= a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2}+\cdots + a_{1n}x_{n} \\ y_{2}= a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2}+\cdots + a_{2n}x_{n} \\ \cdots \cdots \\ y_{n}= a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2}+\cdots + a_{nn}x_{n} \\ \end{matrix}\right. \tag{1}$
的系数行列式不等于零，即
$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}\neq 0$
那么，方程组 $(1)$ 有唯一解。

矩阵

1. 定义

由 $m\times n$ 个数 $a_{ij}(i=1, 2,…,m; j=1,2,…,n)$ 排列成的 $m$ 行 $n$ 列的数表
$\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}\\ \end{matrix}$
称为 $m$ 行 $n$ 列矩阵，简称 $m\times n$ 矩阵，一般记着
$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}\\ \end{pmatrix}$

只有一行的矩阵称为行矩阵，又称为行向量
$A = \begin{pmatrix} a_{11} , a_{12} , ... , a_{1n}\\ \end{pmatrix},$
只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量
$A = \begin{pmatrix} a_{11}\\ a_{12}\\ \vdots\\ a_{1n}\\ \end{pmatrix}$
元素均为0的矩阵称为零矩阵，记着 $\mathbf{0}$

2. 实质

$n$ 个变量 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 和 $m$ 个变量 $y_{1},y_{2},\cdots,y_{m}$ 之间的关系式
$\left\{\begin{matrix} y_{1}= a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2}+\cdots + a_{1n}x_{n} \\ y_{2}= a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2}+\cdots + a_{2n}x_{n} \\ \cdots \cdots \\ y_{m}= a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2}+\cdots + a_{mn}x_{n} \\ \end{matrix}\right.$
表示一个从 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 到 $y_{1},y_{2},\cdots,y_{m}$ 的线性变换，其中 $a_{ij}$ 为常数。
线性变换的的系数 $a_{ij}$ 构成矩阵 $A=\left ( a_{ij} \right )_{m\times n}$

给定了线性变换，它的系数构成的矩阵也就确定，反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定。在这个意义上，线性变换和系数矩阵之间存在着一一对应的关系。于是，也可以将矩阵看做是线性变换。

3. 矩阵的运算

3.1 矩阵的加法

设有两个 $m\times n$ 矩阵 $A=\left ( a_{ij} \right )$ 和 $B=\left ( b_{ij} \right )$ , 那么 $A$ 和 $B$ 的和记作 $A+B$ ，规定为 $A+B=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & ... & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & ... & a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & ... & a_{mn}+b_{mn}\\ \end{pmatrix}$

矩阵加法满足下列运算规律（设 $A,B,C$ 都是 $m\times n$ 矩阵）

$A+B=B+A$
$(A+B)+C=A+(B+C)$

3.2 数与矩阵相乘

数 $\lambda$ 与矩阵 $A$ 的乘积记作 $\lambda A$ 或 $A\lambda$ ，规定为 $\lambda A=A\lambda = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & ... & \lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & ... & \lambda a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & ... & \lambda a_{mn}\\ \end{pmatrix}$

数乘矩阵满足下列运算规律（设 $A,B$ 都是 $m\times n$ 矩阵， $\lambda ,\mu$ 为数）

$\left ( \lambda \mu \right )A=\lambda \left ( \mu A \right )$
$(\lambda +\mu)A=\lambda A + \mu A$
$\lambda\left ( A+B \right ) = \lambda A +\lambda B$

矩阵相加和数乘矩阵合起来称为矩阵的线性运算。

3.3 矩阵与矩阵相乘

设 $A=\left ( a_{ij} \right )$ 是一个 $m\times s$ 的矩阵， $B=\left ( b_{ij} \right )$ 是一个 $s\times n$ 的矩阵，那么规定矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 的乘积是一个 $m\times n$ 矩阵 $C=\left ( c_{ij} \right )$ ，其中
$c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j}+\cdots + a_{is}b_{sj}=\sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}\\ (i=1, 2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n)$
并把此乘积记作 $C=AB$

注意：

只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。
矩阵乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序。一般情形下， $AB\neq BA$ 。
对于两个 $n$ 阶方阵 $A, B$ ，若 $AB=BA$ ，则称方阵 $A$ 与 $B$ 是可交换的。

矩阵乘法满足下列运算规律（假设都是可行的）

$(AB)C=A(BC)$
$\lambda (AB) = (\lambda A)B=A(\lambda B) (其中\lambda 为数)$
$A(B+C) = AB+AC,\\(B+C)A = BA+CA$
$EA=AE=A$

3.3.1 矩阵的幂

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，定义
$A^{1} = A,A^{2}=A^{1}A^{1},\cdots A^{k+1}=A^{k}A^{1},$
其中 $k$ 为正整数。

矩阵的幂满足下列运算规律：
$A^{k}A^{l}=A^{k+l},\left ( A^{k} \right )^{l}=A^{kl}$
其中 $k$ ， $l$ 为正整数。

注意：

只有当 $A$ ， $B$ 可交换时，才有 $\left ( AB \right )^{k} = A^{k}B^{k}$ ，类似可知， $\left ( A+B \right )^{2} = A^{2}+2AB+B^{2}, \left ( A-B \right )\left ( A+B \right )=A^{2}-B^{2}$ 也只有当 $A$ ， $B$ 可交换时才成立。

3.3.2 一个小知识点

若 $\alpha=[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]^{T}$ ，则 $\alpha \alpha^{T} = [a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]\begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix} =a_{1}^{2} +a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}$
那么 $\alpha \alpha^{T} = 0 \Leftrightarrow a_{i} = 0 (i=1,2,\cdots ,n) \Leftrightarrow \alpha=0$

矩阵与矩阵相乘可以看作是多个线性变换的的组合，变换顺序为从右向左。

3.4 矩阵的转置

把矩阵 $A$ 的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做 $A$ 的转置矩阵，记作 $A^{T}$ 。

矩阵的转置满足下列运算规律：

$(A^{T})^{T}=A$
$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$
$(\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}$
$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

如果 $A$ 为 $n$ 阶方阵，如果满足 $A^{T}=A$ ，即 $a_{ij}=a_{ji}(i,j=1,2,\cdots ,n)$ 那么 $A$ 称为对称矩阵，简称对称阵。对称阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴对应相等。

3.5 方阵的行列式

由 $n$ 阶方阵 $A$ 的元素所构成的行列式，称为方阵 $A$ 的行列式，记作 $\left | A \right |$ 或 $detA$ 。

行列式满足下列运算规律（设 $A,B$ 都是 $n$ 阶方阵， $\lambda$ 为数）

$\left | A^{T} \right |=\left | A \right |$
$\left | \lambda A \right |=\lambda ^{n}\left | A \right |$
$\left | AB \right |=\left | A \right |\left | B \right |$
$\left | A^{*} \right |=\left | A \right|^{n-1}$
$|A^{-1}| = |A|^{-1}$
若 $\lambda_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 是 $A$ 的特征值，则 $|A|=\prod_{i=1}^{n}\lambda_{i}$
若 $A$ 和 $B$ 相似，则 $|A| = |B|$

行列式可以看作是该矩阵的线性变换对基向量所围成的空间（面积、体积……）的缩放倍数

4. 逆矩阵

4.1 定义

对于 $n$ 阶矩阵 $A$ ，如果有一个 $n$ 阶矩阵 $B$ ，使 $AB=BA=E$ ，则说矩阵 $A$ 是可逆的，并把矩阵 $B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，简称逆阵。 $A$ 的逆矩阵记作 $A^{-1}$ 。

4.2 逆矩阵的性质

如果矩阵 $A$ 是可逆的，那么 $A$ 的逆阵是惟一的。
若矩阵 $A$ 可逆，则 $\left | A \right |\neq 0$ 。
若 $\left | A \right |\neq 0$ ，则矩阵 $A$ 可逆，且 $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^{*}$ ，其中 $A^{*}$ 称为 $A$ 的伴随阵。
若 $AB=E(或BA=E)$ ，则 $B=A^{-1}$ 。
方阵的逆阵满足下列运算规律：

若 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 亦可逆，且 $(A^{-1})^{-1}=A$
若 $A$ 可逆，数 $\lambda \neq 0$ ，则 $\lambda A$ 可逆，且 $(\lambda A)^{-1} = \frac{1}{\lambda }A^{-1}$
若 $A,B$ 为同阶矩阵且均可逆，则 $AB$ 亦可逆，且 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
$(A^{n})^{-1} = (A^{-1})^{n}$
$(A^{-1})^{T} = (A^{T})^{-1}$
$|A^{-1}| = \frac {1}{|A|}$
$A^{-1} = \frac {1}{|A|}A^{*}$

定理 1 $\begin{align*} n 阶矩阵 A 可逆&\Leftrightarrow |A| \neq 0 \\\ &\Leftrightarrow r(A)=n\\\ &\Leftrightarrow A 的列（行）向量组线性无关\\\ &\Leftrightarrow A = P_{1}P_{1}\cdots P_{s},P_{i}(i=1,2,\dots,s) 是初等矩阵\\\ &\Leftrightarrow A 与单位矩阵等价\\\ &\Leftrightarrow 0不是A的特征值\end{align*}$

5. 奇异矩阵、非奇异矩阵、伴随矩阵、正交矩阵

当 $\left | A \right |=0$ 时，A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。
行列式 $\left | A \right |$ 的各个元素的代数余子式 $A_{ij}$ 所构成的如下矩阵
$A^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}\\ \end{pmatrix}$
称为矩阵 $A$ 的伴随矩阵，简称伴随阵。

伴随矩阵有如下计算公式

$AA^{*} = A^{*}A = |A|E$
$A^{*} = |A|A^{-1}, |A^{*}| = |A|^{n-1}$
$(A^{*})^{-1} = (A^{-1})^{*} = \frac {1}{|A|}A$
$(A^{*})^{T} = (A^{T})^{*}; (kA)^{*} = k^{n-1}A^{*}; (A^{*})^{*} = |A|^{n-2}A$
$r(A^{*}) = \left\{\begin{matrix} n, \quad if\quad r(A)=n\\ 1, \quad if\quad if r(A) = n-1\\ 0, \quad if\quad if r(A)<n-1\\ \end{matrix}\right.$

$n$ 阶矩阵 $A$ ，如果满足 $AA^{T} = A^{T}A = E$ ，则称矩阵 $A$ 为正交矩阵。
若 $A$ 为正交矩阵 $\Leftrightarrow A^{T} = A^{-1}$
若 $A$ 为正交矩阵 $\Rightarrow |A|^{2} = 1$

6. 矩阵的多项式

设 $\varphi (x) = a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{m}x^{m}$ 为 $x$ 的 $m$ 次多项式， $A$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $\varphi (A) = a_{0}E+a_{1}A+\cdots a_{m}A^{m}$
$\varphi (A)$ 称为矩阵 $A$ 的 $m$ 次多项式。

因为矩阵 $A^{k},A^{l}$ 和 $E$ 都是可交换的，所以矩阵 $A$ 的两个多项式 $\varphi (A)$ 和 $f (A)$ 总是可交换的，即总有 $\varphi (A) f(A)=f(A)\varphi (A)$
从而 $A$ 的几个多项式可以像数 $x$ 的多项式一样相乘或因式分解，例如
$(E+A)(2E-A) = 2E+A-A^{2}$
$(E-3A)^{3} = E-3A+3A^{2}-A^{3}$

于是，便可以得出如下结论：

如果 $A=P\Lambda P^{-1}$ ，则 $A^{k}=P\Lambda^{k} P^{-1}$ ，从而
$\begin{align*}\varphi (A)&= a_{0}E+a_{1}A+\cdots a_{m}A^{m}\\ &= Pa_{0}EP^{-1}+Pa_{1}EP^{-1}+\cdots +Pa_{m}\Lambda^{m}P^{-1}\\ & =P\varphi (\Lambda)P^{-1}\end{align*}$
如果 $\Lambda = diag(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots ,\lambda_{n})$ 为对角阵，则 $\Lambda^{k} = diag(\lambda_{1}^{k},\lambda_{2}^{k},\cdots ,\lambda_{n}^{k})$ ，从而
$\begin{align*}\varphi (A)&= a_{0}E+a_{1}A+\cdots a_{m}A^{m}\\ & = a_{0}\begin{pmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \end{pmatrix}+ a_{1}\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{pmatrix} + \cdots + a_{m}\begin{pmatrix} \lambda_{1}^{m} & & & \\ & \lambda_{2}^{m} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n}^{m} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \varphi (\lambda _{1}) & & & \\ & \varphi (\lambda _{1}) & & \\ & & \ddots & \\ & & & \varphi (\lambda _{1}) \end{pmatrix} \end{align*}$

7. 矩阵分块

$m\times n$ 矩阵 $A$ 有 $m$ 行，称为矩阵 $A$ 的 $m$ 个行向量，若第 $i$ 行记作 $a_{i}^{T} = (a_{i1}, a_{i2},\cdots ,a_{in})$ ，则矩阵 $A$ 便记为 $A=\begin{pmatrix} a_{1}^{T}\\ a_{2}^{T}\\ \vdots \\ a_{m}^{T} \end{pmatrix}$
同理，矩阵 $A$ 的 $n$ 列称为矩阵 $A$ 的 $n$ 个列向量。若第 $j$ 列记作 $a_{j}=\begin{pmatrix} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots \\ a_{mj} \end{pmatrix}$
则 $A=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$

矩阵分块的运算法则

$\begin{bmatrix} A & B\\ C & D \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix} A^{T} & C^{T}\\ B^{T} & D^{T} \end{bmatrix}$
若 $B,C$ 分别是 $m$ 阶和 $s$ 阶矩阵，则
$\begin{bmatrix} B & 0\\ 0 & C \end{bmatrix}^{n}= \begin{bmatrix} B^{n} & 0\\ 0 & C^{n} \end{bmatrix}$
若 $B,C$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶矩阵，则
$\begin{bmatrix} B & 0\\ 0 & C \end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} B^{-1} & 0\\ 0 & C^{-1} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & B\\ C & 0 \end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} 0 & C^{-1}\\ B^{-1} & 0 \end{bmatrix}$

8. 矩阵的初等变换

8.1 定义

下面的三种变换称为矩阵的初等行变换：
(i)对调两行（对调 $i,j$ 两行，记作 $r_{i}\leftrightarrow r_{j}$ ）
(ii)以数 $k\neq 0$ 乘某一行中的所有元素（第 $i$ 行乘 $k$ ，记作 $r_{i}\times k$ ）
(iii)把某一行所有元素的 $k$ 倍加到另一行对应的元素上去（第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行上，记作 $r_{i}+kr_{j}$ ）

把定义中的”行“换成”列“，即得矩阵的初等列变换。
矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为矩阵的初等变换。

如果矩阵 $A$ 经有限次初等行变换变成矩阵 $B$ ，就称矩阵 $A$ 与 $B$ 行等价，记作 $A \overset{r} \sim B$ 。
如果矩阵 $A$ 经有限次初等列变换变成矩阵 $B$ ，就称矩阵 $A$ 与 $B$ 列等价，记作 $A \overset{c} \sim B$ 。
如果矩阵 $A$ 经有限次初等变换变成矩阵 $B$ ，就称矩阵 $A$ 与 $B$ 等价，记作 $A\sim B$ 。
矩阵之间的等价关系具有下列性质：

反身性 $A\sim A$
对称性若 $A\sim B$ ，则 $B\sim A$
传递性若 $A\sim B,B\sim C$ ，则 $A\sim C$

8.2 行阶梯矩阵、行最简形矩阵、标准形

行阶梯矩阵的特点：可划出一条阶梯线，线的下方全为0.
行最简形矩阵的特点：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0。
标准形的特点：左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0。

8.3 矩阵初等变换的性质

定理 1 设 $A$ 与 $B$ 为 $m \times n$ 矩阵，那么：
(i) $A \overset{r} \sim B$ 的充分必要条件是存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ ；使 $PA=B$ ；
(ii) $A \overset{c} \sim B$ 的充分必要条件是存在 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$ ；使 $AQ=B$ ；
(iii) $A\sim B$ 的充分必要条件是存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ 及 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$ ；使 $PAQ=B$ 。

定义 1 由单位矩阵 $E$ 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

性质 1 设 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，对 $A$ 施行一次初等行变换，相当于在 $A$ 的左边乘以相应的 $m$ 阶初等矩阵；对 $A$ 施行一次初等列变换，相当于在 $A$ 的右边乘以相应的 $n$ 阶初等矩阵。

初等矩阵都是可逆的，且其逆阵是同一类型的初等矩阵： $E(i,j)^{-1} = E(i,j)$ ； $E(i(k))^{-1} = E(i(\frac{1}{k}))$ ； $E(ij(k))^{-1} = E(ij(-k))$ 。

性质 2 方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 $P_{1},P_{2},\cdots ,P_{l}$ ，使 $A=P_{1}P_{2}\cdots P_{l}$ 。

推论方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $A \overset{r} \sim E$ 。

9. 矩阵的秩

9.1 定义

在 $m \times n$ 的矩阵 $A$ 中，任取 $k$ 行与 $k$ 列（ $k\leqslant m,k\leqslant n$ ），位于这些行列交叉处的 $k^{2}$ 元素，不改变他们在 $A$ 中所处的位置次序而得的 $k$ 阶行列式，称为矩阵 $A$ 的 $k$ 阶子式。

设在矩阵 $A$ 中有一个不等于0的 $r$ 阶子式 $D$ ，且所有 $r+1$ 阶子式（如果存在的话）全等于0，那么 $D$ 称为矩阵 $A$ 的最高阶非零子式，数 $r$ 称为矩阵 $A$ 的秩，记作 $R(A)$ ，并规定零矩阵的秩等于0。

由于行列式与其转置行列式相等，因此 $A^{T}$ 的子式与 $A$ 的子式对应相等，从而 $R(A^{T})=R(A)$ 。

对于 $n$ 阶矩阵 $A$ ，由于 $A$ 的 $n$ 阶子式只有一个 $|A|$ ，故当 $|A| \neq 0$ 时 $R(A)=n$ ，当 $|A| =0$ 时 $R(A)<n$ 。可见，可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数。因此，可逆矩阵又称为满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵。若矩阵 $A$ 的秩等于它的列数，这样的矩阵称为列满秩矩阵。

定理 2 若 $A\sim B$ ，则 $R(A)=R(B)$ 。
由此可得，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。

推论若可逆矩阵 $P,Q$ 使 $PAQ=B$ ，则 $R(A)=R(B)$ 。（由8.3定理1）

9.2 矩阵秩的性质

(1) $0\leqslant R(A_{m\times n})\leqslant min|m,n|$

(2) $R(A^{T})=R(A)$

(3) 若 $A\sim B$ ，则 $R(A)=R(B)$

(4) 若 $P,Q$ 可逆，则 $R(PAQ)=R(A)$

(5) $max\left \{R(A), R(B)\right \} \leqslant R(A,B) \leqslant R(A)+R(B)$

(6) $R(A+B) \leqslant R(A) + R(B)$

(7) $R(AB) \leqslant min\left \{ R(A), R(B) \right \}$

(8) 若 $A_{m \times n}B_{n \times l}=\mathbf{0}$ ，则 $R(A) + R(B) \leqslant n$

(9) 若 $AB=\mathbf{0}$ ，且 $A$ 为列满秩矩阵，则 $B=\mathbf{0}$ 。这一性质通常称为矩阵乘法的消去率。

(10) 若 $A$ 可逆，则 $R(AB)=R(B), R(BA)=R(B)$

10. 相似矩阵

设 $A,B$ 均是 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP=B$ ，则称 $B$ 是 $A$ 的相似矩阵，或者说矩阵 $A$ 与 $B$ 相似。

若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与对角矩阵
$\Lambda =\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{pmatrix}$
相似，则 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 即是 $A$ 的 $n$ 个特征值。