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功能连接用于评估各脑区之间的功能关系，可以通过测量不同脑区之间的相关性加以判断。从概念上看，可以分为两大类：功能连接(FC)指标和有效连接(EC)指标，前者测量信号之间的统计依赖性，但不提供任何因果信息，后者提供因果信息。这里介绍了一些常用的功能连接指标，分为五类：经典测量(CM)、相位同步指数(PS)、广义同步指数(GS)、格兰杰因果测量(GC)和信息论指数(IT)。
1、经典测量(CM)：经典的测量方法包括神经科学文献中最常用的FC线性方法，如皮尔逊相关系数、互相关函数、幅值平方相干性和相位斜率指数等。这些测量方法为大众所熟知，并且计算速度快。但是它们只检测线性相关性。
①皮尔逊相关系数 Pearson’s correlation coefficient (COR)：皮尔逊相关系数是测量两个信号x(t)和y(t)在零滞后时的时域线性相关性。计算方式如下，其中-1≤Rxy≤1，-1表示两个信号之间呈完全线性负相关，0表示没有线性相关性，1代表两个信号之间呈完全线性正相关。
②互相关函数 Cross-correlation function (XCOR)：互相关函数是测量两个信号x(t)和y(t)之间的线性相关性，作为时间的函数，表示的是两个时间序列之间的相关程度。计算方式如下，当τ=0时，表示皮尔逊相关系数。其中-1≤Cxy(τ)≤1，-1表示在时滞τ时，x(t)与y(t)呈完全线性负相关，0表示无线性相关性，1表示在时滞τ时，x(t)与y(t)完全线性正相关。
③相干性 Coherence (COH)：幅值平方相干性(或简称相干性)是测量两个变量x(t)和y(t)之间的线性相关性，作为频率f的函数。它是相干函数(K)绝对值的平方，K是互功率谱密度，Sxy(f)、Sxx(f)和Syy(f)是x(t)和y(t)之间及其各自功率谱密度。
因此，相干性系数计算方式如下，其中0≤COHxy(f)≤1，0表示在频率f处，x(t)和y(t)之间无线性相关，1表示x(t)和y(t)在频率f处存在相关关系。
④相位斜率指数 Phase Slope Index (PSI)：Nolte等人(2008)提出了两个时间序列之间信息流动方向的高度鲁棒估计。简单地说，如果不同的波传播的速度相似，那么信息的发送方和接收方之间的相位差就会随着频率的增加而增加，导致相位谱的斜率为正。因此，x(t)和y(t)之间的PSI计算方式如下。
其中Kxy(f)为复相干度，δf为频率分辨率，为虚部，F为斜率求和的频率集合。通常，该计算方式是通过对其标准差的估计来进行归一化的。
是通过将整个数据划分为k个分段来评估的，从数据中去掉kth个epoch，然后取σ作为
分布的标准差。PSI＞2表示所考虑的频率范围内x(t)和y(t)之间有统计学意义的时滞。
注：PSI表示两个信号的时间顺序，然后将其解释为驱动响应关系。对于双向(或未知)耦合，例如，发现A驱动B并不意味着B对A没有影响，反之则不能作此推论。在分析由独立源混合而成的数据的方向性检测中，该方法要优于格兰杰因果。
2、相位同步指数(PS)：是指两个耦合振荡器的相位同步情况，即使它们的振幅可能不相关。
①相位锁定值 Phase Locking Value (PLV)：Lachaux等人(1999)利用相对相位差计算PLV，计算方式如下，其中< .>表示平均时间。PLV估计相对相位在单位圆上的分布情况。当X和Y之间存在较强的PS时，相对相位占圆的一小部分，PLV接近1。但是，如果系统没有同步，相对相位在整个单位圆上扩散，PLV则较低。PLV测量的是在t时刻这个相位差的序间变异性。在处理连续数据时，PLV也被称为平均相位相干，而不是诱发反应。0≤PLV≤1。0表示很可能相对相位是均匀分布的。然而，如果PLV等于0也可能发生，例如，这个分布在π值上有两个峰值。1表示当且仅当严格锁相条件：相位差为常数，则能够检测到完整PS。
注：PLV对于共同源（如容积传导效应（EEG和MEG）和参考电极活化（EEG））的存在并不具有鲁棒性。
②相位滞后指数 Phase-Lag Index (PLI)：该测量舍弃了以0 mod π为中心的相位分布，以增强对存在的共同源的鲁棒性。计算方式如下，其中0≤PLI≤1，0表示没有耦合或耦合的相位差在0 mod π附近，1表示
值不等于0 mod π时完全锁相。
注：PLI对共同源的存在具有鲁棒性，但其对噪声和容积传导的敏感性会受到这种测量方法的非连续性的挑战，因为小扰动会将相位滞后转化为导联，反之亦然，这个问题对于小幅度同步效应可能会更明显。
③加权相位滞后指数 Weighted Phase-Lag Index (WPLI)：加权后的PLI，被称为WPLI，用如下公式计算，其中
是x(t)和y(t)之间的交叉谱的虚分量。0≤WPLI≤1，其中0代表不同步，1表示同步。
注：与其他相位同步指数(PS)相反，WPLI混合了相位和振幅信息。之所以将其列入这类，是因为它与PLI直接相关，建议有兴趣的小伙伴仔细阅读Vinck等人(2011)的文章，Vinck对相干性、PLV、PLI和WPLI的性质进行全面的比较。
④ρ指数 ρ index (RHO)：该指标基于Shannon熵，量化了循环相对相位分布与均匀分布的偏差，根据相对相位直方图用相对频率逼近概率密度。计算方式如下，Smax表示最大熵(均匀分布的熵)。0≤ρ≤1，0表示均匀分布(无同步)，1表示Dirac-like分布(完全同步)。
⑤方向性相指数 Directionality Phase Indexes (DPI)：其基本思想是，如果两个自维持振荡器x(t)和y(t)是弱耦合的，它们相位的增量只取决于相位本身，而不受振幅的影响。因此，这种增量可以通过两个相位的周期函数来建模，而振荡器之间PS的方向性可以通过这些函数的参数来评估。-1≤dxy≤1，1表示单向耦合(x-＞y)，-1表示相反情况(y-＞x)，(-1< dxy < 1)的中间值对应双向耦合。
3、广义同步指数(GS)：是指动态(子)系统Y的状态是另一个动态系统X的状态的函数，即Y=F(X)。就(子)系统产生的信号而言，这意味着如果x(t)在ti和tj时刻的时间模式相似，那么y(t)在这两个时刻的时间模式也相似，这可以用不同的指标来量化，如S指数(Arnhold, 1999)、H指数(Arnhold, 1999)、N指数(Quiroga et al. 2002)、M指数(Andrzejak et al. 2003)、L指数(Chicharro & Andrzejak 2009)。这里着重介绍同步似然指数。
同步似然指数 Synchronization Likelihood (SL)：同步似然指数可以说是神经生理数据中估计GS最流行的指标。这个指数与广义互信息的概念密切相关，它依赖于同时发生的模式的检测。与迄今为止所描述的所有GS指标(仅评估两个信号x(t)和y(t)之间的连接性)相反，SL实际上是多元的，因为它给出了M (≥2)时间序列x1(t),.., xM(t)之间的动态相互依赖的规范化估计。计算公式如下，SLm,n描述了在n时刻通道xm(t)同步到所有其他m-1通道的强度。pref≤SL≤1。pref表示所有M时间序列都不相关，1表示所有M时间序列的呈最大同步。
4、格兰杰因果关系(GC)：是基于预测的因果关系统计概念。起初是作为一种计量方法被经济学家们普遍接受并广泛使用，后来GC在神经科学领域中的应用也开始流行起来。
①经典线性格兰杰因果 Classical Linear Granger Causality (GC)：对于两个同时测量的信号x(t)和y(t)，如果结合第二个信号的过去值信息比只使用第一个信号的信息更好地预测第一个信号，那么第二个信号可以称为第一个信号的因果关系。格兰杰因果关系(GC)从y预测x的表达式如下，0≤GCY→X<∞，0表示y(t)的过去值并不能改善x(t)的预测
，>0表示Y的过去值改进了X的预测
。
注：GC具有非对称的优点，因此，它能够检测到有效的连接性。但它是一个线性参数方法，所以它依赖于阶p的自回归模型。对于有兴趣进一步探索GC及其不同变式的小伙伴，推荐一款很棒的GCCA工具箱。网址如下：
http://www.sussex.ac.uk/Users/anils/aks_code.htm
②部分定向相干 Partial Directed Coherence (PDC)：PDC提供了基于格兰杰因果关系的频域测量。它是基于多变量自回归(MAR)过程对时间序列的建模。由于PDC测量的是通道信号之间的因果影响关系，因而具有方向性。0≤|πij(f)|2≤1，0表示无耦合，1表示完全耦合。
③定向传递函数 Direct Transfer Function (DTF)：DTF的计算与PDC类似。DTF使用传递函数矩阵H的元素，而PDC使用Ᾱ的元素。0≤DTF≤1，0表示无耦合，1表示完全耦合。
5、信息理论测量(IT)：基于量化离散随机变量X的信息的测量。
互信息 Mutual Information(MI)：互信息通过观察另一个随机变量可以获得的关于该随机变量的信息量。它测量的是x和y共享的信息量，其重要性在于，如果MIxy=0↔x和y是独立的。0≤ MIxy<∞，0表示x和y是独立的，>0表示x和y是互依的。
注：MIxy的主要优点是它能够检测(如果有的话)高阶相关性，因为它是基于概率分布的。因此，它不依赖于任何特定的数据模型。但是，由于缺乏方向性信息，不能识别因果关系。
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