前一篇数学思想方法揭秘-6(原创)。回前言。
思想方法是心法，对数学思想方法有兴趣的同学，要认识到这就是在数学中修炼，修正你先前错误的数学思想观念，树立一套正确的数学思想方法论，把它们烙印在潜意识中形成思维习惯，那你就能受用终身，即使以后学的知识有遗忘，但这些思维习惯几乎很难忘记。运用之妙，存乎一心，要在解题实践中领悟数学思想方法。
第41题
原视频讲解网址：http://url.cn/5dFhq0F，自己去看里面的解题方法。
这里给出优雅简单的解法来求q和r，如下图。
总结：根据题目，要能联想到基本不等式。这道题后面运用不等式的放缩，左右夹逼来得出q。很好理解，题目中只有一个方程，却有多个未知数，想到用不等式是比较自然的，否则整个解题过程都是蛮力穷举显然工作量太大，时间耗不起。
第42题
原视频讲解见http://url.cn/5m7u8ma，自己去看。
这里给出优雅的解法，见下图。
总结：要有丰富的联想能力，把联想到的信息有机组织汇总起来。题目中提到m的各位数乘积，所以很自然想到解一元二次不等式，得出
后面设m的位数为n也是很自然就能想到，题目中有'位数'关键词，这就是基于关键词的联想。
这些信息很自然就能联想推理出来。这题就是充分利用这些不起眼的信息，隐藏的信息，题目中明显的已知条件不足以解题，需要挖掘利用这些隐藏的信息来一起解题。另外就是利用了函数的增减性。
第43题
2018北京初中数学竞赛。
证明29的某个幂的末三位是001 。
这里给出另一种方法，如下。
初中竞赛学生如果知道二项式定理就好办，把29变成30-1，二项式展开，看后三项，就知道指数为100的倍数就可以满足位数为001
总结：这题也是联想，从题目中的幂和位数，要能想到二项式定理；29要能想到拆成30-1，这样才能用二项式定理。丰富且有效的联想很重要。
第44题
剑桥大学几何题
这题也是来自今日头条，网址为http://url.cn/5864pW5，可以先去看看其解题方法，该方法中所作辅助线截图如下：
我给出了两种方法，如下，分别适用于初中和高中。
其实高中阶段有两种方法：使用正切公式和余弦定理。
初中的方法如下图。
题目最后需要解一个很简单的一元二次方程。
评论中后来有人提出了更简洁的方法，我上面的方法还是有些复杂。反思下，我没充分利用好60度这个已知条件，有时心情状态不好也会走偏路。
这个解法主要是利用了各种关系：平行线之间的比例关系、相似三角形比例关系，勾股定理中的关系。这个解法中用两种不同的途径或方法来计算，很显然，这两个途径算出的应该相等，用它们俩相等来列方程，这个就是'算两次'的数学思想，其实'算两次'在很多题中都会用到，司空见惯。一般来说，只要是根据相等关系来列等式，就是在运用该思想，即使等式一侧是个常数，也不例外，不管这个常数是已知的，还是中间计算出来。在几何图形中，算两次选取的对象一般是公共边、公共角、或面积、不变量等，当然也不限于这些。
适用于高中阶段的解法如下，高中的方法是简洁的。
第45题
函数求值
我的方法如下图，要合理设想。
第46题
视频网址：http://url.cn/5FlOZP9 视频中的讲解是错误的，也是不严谨的，刚好蒙对答案了。
严谨的解法如下图：
总结：分类讨论，深入下钻到条件中，例如是奇数，我们就设它为2m+1，这就是条件下钻，这样就能充分发挥这个信息中蕴含的价值，不要轻视不起眼的信息和隐藏的信息，不要随便忽略不起眼的信息，特别是在手上的条件不多时，要充分利用好它们，在第三篇中提到过这一点。这些经验自己在解题中也可以总结出来。
第47题
已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，证明：a与b之间存在着无穷多个有理数。
这种存在性证明，可以联想到无穷数列，需要想出一个数列生成算法或数列公式，也可想到函数，不同的自变量对应不同的函数值。
视频中给出的方法如下图。
我想到的方法如下图。
找出一个递增或递减函数，递增：在自变量为0时，函数值为a，在自变量为1时，函数值为b。递减：在自变量为0时，函数值为b，在自变量为1时，函数值为a。最容易联想到的就是线性函数，直线方程，如上图。在0到1中取不同的t值，插值，例如自变量数列，就能映射出无数的有理数。
总结：联想到函数和直线、直线方程和图像，构造出函数和数列。
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