江子校长说 | 人性与教育（二十六）

十一、儿童自述（6~12岁）

（13）

小学几何（2）

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长度度量是个一维测量问题，

它的核心有二：

如何确定“基准”（长度单位）？

如何应用几何变换确定最终的结果？

在精确学习之前，

我需要“重温”原初几何学家们已经走过的创造历程——

有一天，我清晰地意识到“长”与“短”的差异，

我尝试用我自带的“身体部件”去测量它，

张开我的大拇指和中指，

我就创造发明了“拃”；

伸展我的两只手臂，

我就创造发明了“庹”；

一前一后自然地迈开我的双脚，

我就创造发明了“步”……

为了部落内部的交流与分享，

我们以部落酋长的部件为“标准”，

在统一“拃”“庹”“步”的基础上，

最终创造出更加客观的“寸”“尺”“丈”；

有了以上的经验，

在遭遇强大的西方文明时，

我不再“手足无措”，

而是主动追问：

你们确定的“基准”是什么？

面对任何一个等待测量长度的对象，

我可以通过“平移变换”，

轻松地知道它与“基准”的关系；

学习了乘法之后，

我还可以通过“伸缩变换”，

把给定的“基准”想象成一根可以自由拉伸的橡皮筋，

从而确定测量对象与基准之间的“倍数关系”（拉伸系数）；

结合测量过程中出现的“盈余”或“不足”的现象，

我可以自然而然地“逼出”更大或者更小的“基准”，

结合十进制，我也可以轻松推知不同基准之间的关系；

当然，我的祖先创造的“寸、尺、丈”也不可丢弃，

只需沟通它们与“国标”之间的关系，

所有的文明都可以和谐共存！

接下来就是适当的实践练习，

书桌和卧室的长、宽、高，

操场上的跑道，

从家到学校的距离……

所有这些有趣的活动，

无非都是打着精确测量的幌子，

去进行一场“估测”的游戏，

我很快就能洞悉其中的奥秘——

在实际生活中，“估测”能力显然更有威力；

不过，离开了精确测量的练习，

估测就必定会荒腔走板、毫无意义！

差不多九岁左右，

我就可以理解“面积守恒观念”了，

此时学习二维面积测量就恰逢其时了。

请千万不要让我死记公式，

我已经拥有足够的能力去独立地创造和发明——

我可以迅速确定以下两个核心问题：

选择谁作为新的“面积基准”？

如何运用平移变换或者伸缩变换？

我选择一个单位正方形小木块作为基准，

然后用它们（大小一样的多个小木块）沿着水平方向

覆盖等待测量的长方形（假定为a个），

这个系列动作就相当于将“基准”平移了a次；

再沿着垂直方向完成类似的动作（假定为b个），

显而易见，长方形的“大小”（面积）就等于“a*b”。

如果我把基准想象成一个可以自由伸缩的橡皮泥，

沿着水平方向进行拉伸变换（基准的宽保持不变），

得到拉伸系数为a，

再沿着垂直方向进行拉伸变换（基准的长保持不变），

得到拉伸系数为b，

我同样可以得到长方形的面积为“a*b”.

在发明创造了长方形的面积公式之后，

我就能够以它为“武器”进行更加自由地探索。

将一个长方形沿着对角线对半剪开，

我就可以得到直角三角形的面积为ab；

而通过做一条高就可以将任意一个三角形转化为

两个直角三角形的“和”或者“差”，

从而可以推算出它的面积公式；

对于任意一个平行四边形来说，

既可以沿着对角线分割成两个三角形，

也可以通过割补法拼接成一个等底等高的矩形；

与梯形相遇时，我会更加的自由——

沿着对角线可以分割成两个三角形；

沿着上底的两个端点做下底的垂线，

可以分割成两个直角三角形和一个矩形；

连接上底一个端点和相对一腰的中点，

延长并与下底延长线交于一点，

就可以将梯形转化为一个面积相等的三角形；

不管是哪种方法，总是可以，

化未知为已知，

化“僵化的结论”为理性的逻辑推理；

而且，如果把梯形想象成一个可以自由伸缩的“橡皮泥”，

当把上底“拉伸”到一定程度，

梯形就会变成一个“矩形”，

从而有效沟通梯形与矩形面积公式之间的内在联系；

当把梯形上底“压缩”为“一个点”的极端状态，

梯形就会“变成”一个三角形，

从而有效沟通了梯形与三角形面积公式之间的关系。

现在，我就要更加热烈地发问了：

任意一个多边形的面积可求吗？

与多边形“相对”的圆形的面积可求吗？

很高兴，“答案”又是非常确定的：

完全可以！

从n多边形的一个顶点出发做对角线，

总是可以将其分割成（n-2）个三角形；

作一个圆形的内接正多边形，

随着边数的增加，我发现：

一则“误差”会越来越小，

二则如果以圆心为顶点，

也可以将内接正n变形分割成n个“三角形”，

从而“近似”求出圆形的面积；

随着探索的深入，我还有更加惊人的发现呢——

如果n是很大很大的自然数，

小三角形的底边就可以与圆周“无限重合”，

利用圆的周长公式，

就可以将n个“小曲边三角形”的面积之和求出来，

从而直接“得到”圆的面积公式；

在这次“探险”历程中，

我可以明显感受到我的心跳在加速，

我隐隐约约地感受到“无限分割”

以及“极限思想”在朝我神秘地招手！

大约在十一岁左右的时候，

我已经基于生活经验形成了“体积守恒”的观念，

这表明我为创造发明体积公式做好了充分的准备。

核心问题仍然只有两个——

如何确定基准？

选择怎样的几何变换去度量？

因为三维的长方体可以视作是二维的长方形

在竖直方向上做平移变换时留下的“轨迹”，

所以，具体的度量过程简洁而又清晰；

选定一个单位小正方体为“基准”，

然后可以进行平移变换——

沿着长方体之长的方向平移基准，结果为a；

沿着长方体之宽的方向平移基准，结果为b；

沿着长方体之高的方向平移基准，结果为c；

待测长方体显然就“包含”了“a*b*c”个“基准”；

（当然也可以进行伸缩变换）

如果结合长方体是如何从长方形动态变换而成的过程，

我也可以选择“a*b*1”的长方体为“基准”，

然后沿着竖直向上的方向进行平移或伸缩变换，

从而也可以有效沟通体积与“底面积”和“高”之间的关系。

体积的问题显然要复杂一些，

不过这并不影响探索的乐趣，

圆柱、圆锥，还有球都是非常好玩儿的几何体！

我用矩形、直角三角形和圆形为基础“零件”，

通过各种有意思的旋转变换，

实际操作，再加上一些思想实验，

就可以利用想象力构造出各种“旋转几何体”；

再利用“展开”和“拼接”活动，

也可以有效沟通平面图形与立体图形之间的关系；

在这些丰富的游戏经验的基础上，

我就可以继续展开我的“创造发明”之旅了——

以一个“单位圆形”为“基准”，

利用平移或者拉伸变换，

就可以轻松得到圆柱的体积公式；

圆锥的体积令我颇费周折，

我不得不综合数学和科学双重功力，

先猜想，然后运用科学实验去验证！

而球体就更加“烧脑”了，

我先将球面进行“无穷分割”（近似无限个“小圆形”），

然后以球心为顶点，

以分割之后的球面上的“小圆形”为“曲底面”，

从而将整个球体分割成无限个“曲底面小圆锥”，

再综合球面面积公式和圆锥体积公式，

最后就可以“创造”出球体体积公式啦！

是的，我不得不承认，

语言真是苍白啊，

它根本无法表达出我在探索过程中

所经历的激动人心的喜悦，

以及信心爆棚的成就感与自豪感！

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