那些看起来很复杂的统计学公式和定理并没有那么难理解，了解统计学，你才能知道在大数据时代生存的游戏法则。
一般意义上的统计学，包含了概率学与数理统计学两个部分，都以概率论为基础。听着吓人，其实除了一个吓人的名字，这门学问并不高深，我们从小到大都和它打着交道。比如学生时代参加的大大小小的考试，本质上都是数学统计的过程。老师出的考卷就相当于一张调查问卷，通过选择有限的知识点和题目，来考察我们对整个知识体系的掌握情况。用统计学的术语表达出来，这就是典型的抽样调查，考试成绩就是量化后的调查结果，而我们每个人的学习能力和努力程度，就会以分数的形式展现出来。
怎么样，是不是开始觉得统计学不那么抽象了？这也是本书作者一直在强调的观点。在我们生活的大数据时代，各行各业都需要用到统计学知识来处理海量的数据。可那些复杂的数学理论可能会让我们对这门学科产生畏惧心理。其实揭开统计学神秘的面纱，你会发现统计学不只是停留在书本中那些枯燥的理论，而是一门又有趣，又和我们日常生活紧密相关的学问。运用好统计学知识，能让我们在面对陌生问题的时候，得出有说服力的结论，做出合理的决策。
本书的作者是美国达特茅斯大学教授查尔斯·惠伦，他长期担任《经济学人》杂志驻美国中西部地区的记者。《赤裸裸的统计学》就是他的主要著作之一。下面我就详细讲述书中几个统计学核心定律和概念，带你了解它们背后隐藏的生活奥秘。
其实，一个统计学家所做的工作，就是通过分析数据来推断事物的本质，预测它未来的发展。而分析数据的第一步，就是找出那些看似偶然发生的事件，背后隐藏着哪些必然性的统计规律。这里就要用到两个概率学基本定理，第一个是大数定律，它是整个概率学的基础。在生活中，想要做好财产管理和风险投资，都离不开它。
第二个是中心极限定理，这个定理解释了，为什么我们可以通过随机抽样，来调查整个群体的特点规律。了解这些概率学知识之后，我们就可以把目光放在统计学的基本方法上。
第三个重点我们就来说说，随机抽样，这是调查统计的基础环节，我们可能大概知道它是怎么回事，但是其实这个环节，经常容易出错。那么，对于比较复杂的问题，科学家又是如何开展分析研究的呢？
第四个重点我们就来着重了解，“回归分析”这种数据分析方法。
最后，我会给大家说说，作者强调的几个统计学上常犯的错误，其中包括著名的“黑天鹅事件”。
第一部分
下面我们就来说第一个重点：大数定律。想象一下你在学生时代的某天，老师心情不好，一连在班级里做了10次单词听写。对你来说，每次听写的成绩肯定是有浮动的，可能有一两次得分比较高，一两次不太理想。但听写了这么多次，应该比较能反映你的真实水平了。这就是“大数定律”的主要内涵，用数学术语来表达，那就是当试验次数足够多时，实验结果的平均值会无限地接近一个数值，这个数值一般叫做“期望值”。它的意义在于，我们可以通过研究概率来看清风险，做出决定，尤其是在理财和投资的时候，体现得特别明显。
比如常常有人幻想自己一夜暴富，那最有可能的方法就是，买彩票或者进赌场。其实博彩行业就是依靠概率理论来发财的，让大家都觉得自己会是那个幸运儿。可如果按照每期奖金的数额除以彩票的发行量，每张彩票的实际价值都不到1分钱，但人们依然热衷于花2元钱来交换1分钱。就算是某期彩票暴出大奖掏空了奖池，从长远看，发行彩票也是稳赚不赔的。为什么呢？根据“大数定律”，对于长期发行、销量稳定的彩票，奖金总额的期望值是恒定的，发行机构只要保证彩票的销售额大于奖金期望值，就肯定赚钱。赌场也是一样，只要能吸引到足够数量的赌客，不管幸运儿赢走多少钱，赌场永远是最后的赢家。所以，一夜暴富的事发生在我们身上的概率微乎其微，沉溺其中的结果，就是让赌场老板和彩票发行机构大赚了一笔。
反过来，对于一些期望值比较高的投资，我们也要用到大数定律的知识。比如一个投资门槛是100万的项目，成功率只有30%，但是预期回报达到了500%，这么诱人该不该投呢？这时候，如果你把注意力都放在了高回报率上就很危险。我们要注意，大数定律成立的前提是“试验次数足够多”。投资100万可不是买2元钱的彩票，如果你是工薪阶层，用来投资的100万元是你的全部资产，那你显然没有多次投资的资本。这时候如果你孤注一掷，有70%的概率会血本无归。反过来，如果你是巴菲特，那这样的项目肯定是来得越多越好，因为你投资的几百个项目里肯定有一些会成功，平均来看一定会像开赌场一样赚到大钱。所以，面对理财投资中的高期望，我们首先要考虑的因素就是风险倾向。根据大数定律，你的风险承受能力越强，意味着允许试验的次数越多，也就越有可能赚到期望的投资回报。
生活中最常见的、依靠大数定律来赚钱的其实是保险行业。比如我们在网上购买电子产品的时候，网站经常会向我们推销延长保修服务。比如一台1000元的打印机，多花50元可以延保1年。如果你掌握了大数定律，就很容易想到，厂家对这款打印机提供维修服务的预期成本，肯定少于50元，否则就要赔钱了。
但有些时候，这种钱还必须得花。大家都知道保险公司利润很高，假设一种人身意外险的赔偿额度是100万，发生意外的概率是百万分之一，那么预期损失就是1元钱，如果你花10元钱来买，保险公司就能挣到10倍的利润，基本和开赌场没什么区别。但你要知道，买这类保险的意义并不是为了省钱，而是当你遭受一些难以承受的巨大损失时，帮你渡过难关。因为人身意外的损失，是不能和一千元的打印机来比较的，这时保险更多的是一个规避风险的理性工具。
第二部分
上面为你说的就是第一个重点定理，大数定律。接下来来说第二个重点定理：中心极限定理。这个定理是概率学首席定理，我们可以这么理解：假如你烧了一锅汤，想知道味道怎么样，没必要把汤都喝光，只要尝一小勺就可以了，任意一勺汤的味道绝不会相差很远。那中心极限定理的含义就是，任意一个群体样本的平均值，都会围绕在这个群体的整体平均值周围。我们对一个基数庞大的群体做统计调查的时候，只要对其中的一部分样本进行研究，得出的结论就能反映整个群体的特点，而且抽样的数量越大，准确性越高。
因为这个定理的存在，我们开展调查统计就变得简单方便了。如果我们掌握了某个群体的具体信息，就能推理出从这个群体中正确抽取的随机样本的情况。作者举了一个有趣的例子：假设有一个城市同时在举办马拉松比赛和吃热狗大赛，比赛前有一辆载满外国马拉松运动员的公交车不见了，结果警察找到了一辆载满大胖子外国人的公交车。由于语言不通，那警察只能根据经验来判断。即使马拉松选手里面可能也有一两个略重的，但是满车都是胖子不大可能。所以利用中心极限定理不难推断出，警察很可能找错了车子。
当然这属于比较极端的情况，如果换个场景条件，找到的两辆车中，乘客有胖有瘦，该怎么判断呢？这时候我们可以对车中乘客的体重进行测量，计算他们体重分布的标准差，运用中心极限定理，我们仍然能判断出哪辆车是我们要找的。这是因为：马拉松运动员群体的体重标准差是明显小于普通群体的，他们的体重分布更集中。这也是中心极限定理的另一种运用，那就是如果已知两个样本的基本特性，就能推理出这两个样本是不是来自同一个群体。
第三部分
这就是本书的第二个重点，中心极限定理。虽然它的数学计算很复杂，但理解起来并不是那么难。我们理解了大数定律和中心极限定理，也就掌握了统计学的概率论基础。接下来就可以了解一下，一些开展调查统计的基本方法，比方说，怎么来采集数据。下面我来说第三个重点概念：随机抽样。这是我们收集数据的主要方法。比如开展问卷调查的时候，如果客户数量庞大，根据前面说过的中心极限定理，只要在他们中间抽取一部分有代表性的样本来填写问卷，就能达到目的。这个选取代表性样本的过程就是随机抽样。
所以，随机抽样只是看似简单，它的关键在于“随机”这两个字。要做到随机，必须保证每个对象被抽到的概率完全相等，这样抽样后的样本才能代表整个对象群体。比方说我们想知道100个玩具球中有多少红色球、多少蓝色球，只要把它们放进一个袋子里，然后随机取出30个，就能得到基本准确的颜色比例。但问题是，我们开展调查时的对象是人，我们所关心的人口组成远远要比一袋子玩具球要复杂。如果不能保证相关人口中的每个人，被选为样本的概率都相同，作者就认为这样的抽样结果存在“偏见”，这样有偏见的样本往往会得出荒谬的结论。
具体的，我们可以把偏见分成几类。最常见的叫做选择性偏见。1936年美国总统大选前，《文学文摘》杂志曾经向1000万名订阅它的美国公民发放问卷，开展候选人民意调查。这份1000万人的样本已经非常大了，因为当时的美国总人口只有不到一亿三千万。调查结果预测，共和党人兰登将会以显著的优势当选。然而当年大选结果揭晓后，民主党人罗斯福却以压倒性的优势当选了总统。《文学文摘》的这次民意调查可以说相当失败。问题就出在，编辑们没有意识到，订阅这本杂志的人平均来说要比普通美国民众更富有，他们更倾向于投票给保护富人利益的共和党。这样带有选择性偏见的样本即使容量再大，也不能反映全体美国人的民意。
还有一类幸存者偏见也很常见。当样本中有数据缺失，导致样本组成发生改变，这种偏见就会出现。作者在书中提到，很多投资基金公司经常利用这种偏见来操纵数据，吸引投资。他们是怎么做的呢？基金公司会拿基金业绩和股票市场的基准来做比较，比如美股的标准普尔指数，这个就类似于我们的上证指数，如果某一年基金的涨幅高于标准普尔指数，或者跌幅低于标准普尔指数，基金公司就会宣称，我们的基金“跑赢”了标准普尔指数。
但是要想实实在在地跑赢不是一件容易的事。我们从概率学的角度假设，某只基金有1/2的概率跑赢标准普尔指数，那连续两年跑赢的概率只剩下1/4，连续三年跑赢的概率就只有1/8了。猜猜看，公司会怎么宣传自己的基金业绩呢？他们通常的做法就是，同时开放20只新基金，经过三年的经营，总会有2到3只基金连续三年跑赢。公司只要把十几只失败的基金悄悄关闭，大肆宣传这两三只“幸存者”，就可以把投资者的钱骗进来了。而实际上，这些幸存基金的产生，就像连续抛三次硬币正面都朝上一样，接下来的表现会逐渐回归平均水平，真正能长期跑赢标准普尔指数的优秀基金其实凤毛麟角。
此外，健康用户偏见也值得我们警惕。假设卫生部门发布了一个理论：给孩子穿上紫色睡衣会有助于孩子的大脑发育。那么20年后，我们通过抽样调查来验证这个理论。结果显示，在哈佛大学的新生中，有98%的人在少年时期是穿紫色睡衣入睡的，而监狱里的犯人中只有3%的人在少年时穿过紫色睡衣。所以我们得出结论：穿紫色睡衣的孩子确实更有可能取得成功。这很显然是很荒谬的结论，那问题出在哪儿呢？其实我们用来对比的两组人并不是“随机抽样”得到的，“哈佛大学的学生”和“监狱里的犯人”根本就是两类人。真正对孩子大脑发育起作用的是给孩子穿上紫色睡衣的家长，相比于其他家庭，他们显然更注重对孩子的家庭教育。有些养生栏目也经常用类似的调查数据来证明，多吃蔬菜水果的人群更加长寿等等。他们忽略了习惯吃蔬菜水果的人群往往有健康的生活习惯，而那些喜爱高热量食物的人群很可能收入偏低，在生活的其他方面也没有健康的习惯。所以，这样错误的抽样得出的结论是经不起严格考证的。
总结一下，随机抽样是我们开展调查统计的第一步，我们要通过正确抽样，来保证第一手的数据是可靠的、没有偏见的。在这个基础上，我们才能运用这些数据，对一些复杂的问题展开研究。
第四部分
在本书中，作者向我们介绍了一种强大的统计学方法，也就是我要说的第四个重点概念：回归分析。这是一种非常强大的统计学方法，专门用来分析那些影响因素很多的复杂问题。简单来说，回归分析就是通过一个已知的现象，来找到未知的原因。它可以通过严格的数学分析，复原出每种原因对结果的贡献比例。
举个例子，伦敦大学公共卫生学院曾经主持过一项著名的“白厅”研究。医学家们发现，英国政府里低级别的公务员，患上心脏病的概率比他们的上司更高，白厅研究就是要找出这背后的真实原因。这个研究显然不能用随机抽样的方法实现，因为我们不可能把志愿者强行分配到各个工作岗位工作几年，然后再看哪些人因公殉职了。研究员只能在很长一段时间里，对数千名公务员进行详细的数据采集，来比对各类导致心脏病的可能因素。
比如说，低阶公务员的学历普遍偏低，会不会是影响因素？烟民比例多呢？还是不能享受到高水平的医疗服务？或者是加班多，锻炼时间少？这些都是导致心脏病高发的变量，那么到底哪一个才具有决定性的影响呢？这么庞杂的数据里有太多错综复杂的因素，显然会干扰研究员的判断。这时候就要用到回归分析这个工具，它的作用好比一个可以调节孔径的筛子，能在综合考虑其他变量效果不变的情况下，把其中一个变量的效果分离出来。
回归分析的数学过程比较复杂，好在现在有了成熟的多元线性回归方程模型可以套用。我们要做的，就是把多个变量的取样结果代入回归方程式，计算结果就会显示出，我们关注的变量和心脏病发病率的线性关系。通过统计推断，我们就能知道这个变量到底在多大程度上影响了发病率。实验结果表明，造成心脏病高发的真正原因，是对工作缺乏控制力和话语权。而这类存在感较低的岗位，在低级别职位中更常见。现在，“低控制力”已经成了一个专有名词，专指那些精神负担重、决策水平低的工作。
事实上，当前科学界绝大多数的研究结论都是以回归分析作为基础的。尤其是回归分析软件的普及，让建立模型和解析方程变得很简单。但同时也要注意，电脑永远不能代替人的工作，如果我们在进行回归分析时遗漏了变量，或者忽视反面因素，回归分析就会得出危险的结论。
比如，上世纪90年代，哈佛大学医学院对12万名女性开展了纵向调查，经过严格的回归分析证实，定期摄入雌激素的女性，突发心脏病的概率只有其他女性的1/3。医学机构支持了这个观点，医院开始定期为中老年妇女进行雌激素的补充治疗。然而后来的临床试验发现，补充雌激素的副作用会导致乳腺癌和血栓病高发，这是科学家们没有考虑到的重大疏漏。最终，因为接受雌激素治疗而死亡的女性患者达到上万人。你看，一旦出现变量遗漏，错误的回归分析结果甚至会杀人。
第五部分
你看，统计学原理虽然看似简单，但却不是人人都能做数据分析师。因为它既能给我们的观点找到严谨的数据支持，但有时也会给一个错误的结论，披上合理的外衣。这就是本期音频要说的最后一个部分，在概率学上我们常犯的错误。先来说说著名的“黑天鹅事件”。通过这个例子我们可以了解，忽视那些小概率事件，会造成多么严重的后果。
17世纪之前的欧洲人，经常用“世界上没有黑色的天鹅”这句谚语，来讽刺那些无中生有的人，因为他们坚信所有的天鹅都是白色的。可是后来在澳大利亚竟然真的发现了黑天鹅，这句谚语就变成了笑谈。现在，“黑天鹅”一般用来指那些影响很大，但难以预测的小概率事件。
2008年美国次贷危机爆发前，整个北美金融行业都在使用同一个风险价值模型来预测投资风险。这个模型的强大之处在于它非常精确，它能把华尔街每家公司的资产都进行严格的概率学分析，给出预期收益和损失值。它还能把这些海量的市场信息整合成一个简洁的风险指标，提供给美联储和财政部参考。比如分析了以往的市场变动数据后，金融分析家会根据这个模型，给出某项投资在特定周期内可能让公司蒙受的损失，而这种预测可以涵盖高达99%的市场风险。
然而，这个模型有一个被忽略的致命问题，那就是它的概率学模型参照的是过去20年的市场行为，不能对未知的意外情况做出预测。所以，它预测不了“黑天鹅”的出现。这只“黑天鹅”就是2007年美国商业银行房贷业务的崩溃，虽然它发生的概率只有不到1%，但悲剧的是，它确实发生了。这直接导致了一次全球大范围的金融危机，失业率数字达到了10%，很多国家和政府都陷入了债务危机。
这就是小概率重大事件的破坏力。是概率学本身出问题了吗？显然不是，模型已经告诉了我们有1%的风险无法预测，可人们仍然选择了无视。作者认为，最大的风险从来就不是那些我们能看得见、算得出的，而是那些看上去似乎概率很小，我们认为一辈子都不可能发生的风险。它们的确会发生，而且比我们想象的要频繁得多。
除了“黑天鹅”，还有一个我们容易忽略的问题，那就是统计误差。统计学虽然有着严谨的数学计算，但它并不是完美无缺的，我们通过分析数据推断出的结论，永远不会是100%正确的。这是因为，只要数据分析建立在抽样调查之上，样本的统计结果和真实情况之间就会存在误差。虽然随着样本容量的增大、试验次数的增多，这样的误差会接近于0，但即使误差再小，也不能忽视它的存在。
比如前面我们说的中心极限定理，警察通过计算车内乘客的体重分布，有99%的把握估计，那些肥胖的乘客不是运动员。但需要注意，这个推理还有1%的概率是错的，原因就在于，运动员体重样本的平均值，虽然会接近整体的平均值，但并不能说二者完全相等。就好比从锅里舀出的每一勺汤，如果进行精确的化学分析，它们的成分和味道总会有细微的不同。这就是统计误差的含义，我们不可能通过数据得出完全确凿的真相，只能通过合理控制误差来无限接近真相。
书中提到了一个有趣的例子，那就是“检方谬误”。假设你是一名法官，听到公诉人陈述这样的事实，他说：犯罪现场遗留的 DNA 样本和被告人的 DNA 相吻合，除了被告人以外，这个样本和其他人的 DNA 相吻合的概率只有百万分之一。在这些证据的基础上，你能为被告人定罪吗？这时候如果你忽略掉这百万分之一的误差，就可能会让无辜的人锒铛入狱。这是因为误差看似很小，但警方的 DNA 样本库数量非常庞大，通过样本比对，找到两个 DNA 特征相似的人并不是不可能的。所以给犯罪分子定罪时，我们不能死守着概率这一种破案工具，而忽视了性别、年龄、社会关系等其他线索。
在现实中也一样，对于那些意义重大的科研结论，人们往往对概率计算有特别精确的要求。比如物理学家在探测引力波是不是真的存在时，总计花费了数十亿美元、用20多年的时间来建造探测器，目的就是必须要把实验误差控制在一个极其微小的数量级。事实上，这个探测器能探测到小数点后21位，这个尺度上的引力波变化。爱因斯坦一个世纪前的这个预言，才最终得到了有说服力的证明。
“黑天鹅事件”和“检方谬误”充分说明，人们对小概率事件和微小误差的错误认识，会让看似精确的概率计算误入歧途。精确有时候并不意味着准确，客观事实和我们对概率的直观感受往往是有差异的。就像作者说的，概率学本身不会犯错，犯错的是使用它的人。统计学原理虽然不那么复杂，但它仍然是一项严肃的科学，需要时刻带着客观、严谨的思维去审视数据和风险。
下面，来简单总结一下为你分享的内容。
首先我们说到了大数定律，这个定律揭示了统计学的作用原理，那就是通过一部分已知信息来探索未知结论，这在我们理财投资时显得特别重要。
然后我们说到了中心极限定理，这个定理告诉我们，对一部分样本的随机抽样，可以反映整个样本的特点。大数定律和中心极限定理共同构成了统计学的数学基础。
接下来我们进入统计学内容，说到了随机抽样的过程。随机抽样既是开展调查统计的第一步，也是人们容易犯错的地方，最典型的就是选择性偏见、幸存者偏见和健康用户偏见，需要我们加以警惕。
第四点我们说到了回归分析，这是科学家们研究复杂统计学问题的必备工具。但尽管回归分析很强大，我们在使用它的时候还是要保持理性的态度，避免造成可怕的后果。
最后，我们说了在概率学上，我们常犯的错误，“黑天鹅事件”和“检方谬误”。通过了解这样的小概率重大事件和误差认识，我们引出了概率分析计算时需要躲开的误区：尽管概率学有着简洁、精确的优点，但也不能完全代替我们客观、严谨的判断。
以上这些就是《赤裸裸的统计学》这本书的主要内容。总体来说，听完这本书我们能感觉到，人类的社会生活是建立在科学原理之上的，随着大数据时代的到来，转变自己对周围世界的认知方式非常重要。所以，掌握一些基本的统计学知识，刻意挑战一下自己对世界的直观感性认识，培养理性判断的能力，会对我们很有帮助。我们未必都要把自己变成科学家，但要尽量让自己具备科学家式的思维方式，这会让我们在做关键判断的时候游刃有余。
