圆实际上是一个非常神奇的图形，为什么这么说呢？因为我们在学习圆的时候发现了两个神奇的规律：
1.一个圆所对应的圆心角，以及与子圆心角同弧的任意圆周角，此圆周角的角度应为圆心角的角度的1/2。
2.将圆弧上的任意一点作为角的顶点，将此角的两条边过直径圆弧的交点，那么此角的角度应为90度。
可是，这些规律只是我们通过测量而得到的，而不能通过严谨的推理来得到结论，那么，我们发现了这些规律该如何证明呢？
证明发现一：
可将发现一分为三种可能：
第1种：圆周角的两条边与圆心角的两条边并不重合。
第2种：圆周角的一条边与圆心角的一条边重合。
第3种：圆周角的一条边在圆心角内
既然发现了三种可能，我们就要分类讨论。
先来说一说，第1种可能。在第1种可能中，我们可以做两条辅助线，将这个图形变成：
在这一个图形中，我们可以看到三个等腰三角形，分别是等腰三角形AOC，等腰三角形BOC，等腰三角形AOB。
之所以这三个三角形都为等腰三角形，是因为他们的每个腰都是这个圆的半径。
根据等腰三角形的基本性质，我们知道，角ABC应等于角OCB。角OAC应等于角OCA，角OAB应等于角ABO。
过O点作三角形AOB的高,可将角AOB分为两半。
角EOB为三角形OBC的外角,因此角EOB=角OBC+角OCB。
角AOE等于角OAC加角OCA（根据三角形的外角与三角形内角的关系可得）
角OBC+角OCB＋角OAC＋角OCA＝2角ACB
第2种情况该怎么证明？实际上第2种情况要简单的多。因为在第2种情况中，圆心角实际上就是圆周角所对应三角形的外角。
三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角和因此角1等于角2再加上角3，角二与角三相等，（因为角二角三所对应的三角形是一个等腰三角形）（因为此三角形的两条腰都是圆的半径，因此此三角形是等腰三角形）所以角1等于两个角2相加。
（第3种情况暂不论述）
那么如何证明猜想2呢？
角1+角2+角3+角4应为180度（三角形的内角和是180度），角二是角1+角2的一半角，3是角3+角4的一半，因此角2+角3=180度的一半，也就是90度，因此第2种猜想得以证明。
