MIT-18.06-线性代数（第九讲）

第九讲 —— 线性相关性，基，维数

本讲将学习线性无关（linear independence），对于向量组，何谓“线性无关”，或者与之相反的情况，线性相关。什么是由向量组生成的空间。什么是向量空间的“基”，什么是子空间的“维数”。我们会说向量组是线性无关的，但不会说一个矩阵是线性无关的。

1. 线性无关

有向量组 $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ ，什么条件下它们是线性无关的？对它们进行线性组合，是否存在结果为零的组合？除系数全为零，如果存在一种组合，使得结果为零向量，那么它们是线性相关的。如果不存在结果为零向量的组合，则向量组线性无关。这表示，任何 $c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n$ 的结果都不为零，除非所有系数都为零。如果向量组里包含了一个零向量，那么向量组不可能线性无关。

若 $v_1,v_2,...,v_n$ 都是矩阵 $A$ 的列，换言之，假设在一个 $m$ 维空间里，可以通过将它们放在一个矩阵中，直接判断向量组的线性相关性。如果向量组线性无关，那么矩阵 $A$ 的零空间中只有零向量。如果向量组线性相关，则表示零空间中存在其它一些向量，即有 $A$ 乘上非零向量 $c$ 得零向量，也就是存在向量组的线性组合结果为零向量。换一个角度，可以通过秩考虑，如果矩阵的列线性无关，则矩阵的秩是多少？则前者有 $rank=n$ ， $N(A)=0$ ，没有自由变量，后者有 $rank<n$ ，有自由变量。

2. 生成空间

设向量组 $v_1,v_2,...,v_l$ 生成一个向量空间，意味着这个空间包含这些向量的所有线性组合。如果给出一个向量组，然后令 $S$ 为它们的生成空间，这表示 $S$ 包含向量组的所有线性组合。 $S$ 是包含这些向量的空间中最小的一个，因为任何包含这些向量的空间，必须包含向量组的所有线性组合，如果仅仅包含这些组合，就得到最小的一个空间。这个空间就是向量组的生成空间。把向量组的所有线性组合的结果放到一个空间里，简称为生成（span）。

3. 基

向量空间的一组基（basis）是指一系列的向量， $v_1,v_2,...,v_d$ ，这些向量具有两个特性，线性无关和生成空间。

举例，有一个 $R^3$ 空间，求空间的一组基。如 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ 。当空间是 $R^3$ 时，有3个向量，矩阵为方阵，它需要满足什么条件，其列才能组成基？有 $R^n$ 中 $n$ 个向量要构成基，以这 $n$ 个向量为列的 $n×n$ 矩阵是什么？矩阵必须是可逆的，只有此时，空间才是 $R^n$ 空间。任取某可逆 $3×3$ 矩阵，其列都是 $R^3$ 的基。矩阵可逆，其列空间就是 $R^3$ ，而各列线性无关。

4. 维数

对于给定空间，空间中任意基都满足此性质，即基向量的个数相等，如果一组基有 $n$ 个向量，那么所有基都是 $n$ 个向量，数字 $n$ 表示此空间的大小，也就是生成此空间需要的基向量个数。其中的 $n$ ，称为空间的维数（dimension）。

举例有空间 $C(A)$ ， $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix}$ ，找出列空间的一组基，如 $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$ 。矩阵的秩为2，即 $rank(A)$ =主列的数目=列空间的维数 $dim C(A)$ 。找出零空间的一组基，如 $\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ 。零空间的维数 $dim N(A)$ =自由变量的数目= $n-r$ 。