2.4 有限域的构造，构造扩域的途径

构造含 9 个元素的有限域，写出它的全部元素。
【思路】考虑 $9 = 3^2$ 这是他唯一的素数分解方式。

【解答】我们考虑在 $\mathbb{Z}_3[x]$ 中找一个二次不可约多项式 $x^2 + \overline{1}$ (因为 $\overline{0},\overline{1},\overline{2}$ 都不是它的根)

因此 $\mathbb{Z}_3/(x^2 + \overline{1})$ 就是一个域，它的每个元素都可以唯一表示成 $c_0 + c_1 x +(x^2 +\overline{1})$
我们记 $u = x + (x^2 + \overline{1})$ 于是每个元素也都可以写成 $c_0 + c_1u$

满足 $u^2 + \overline{1} = \overline{0}$ 他就是一个具有九个元素的有限域，它的全部元素如下：
$\overline{0},\overline{1},\overline{2},u,\overline{1}+u,\overline{2}+u,\overline{1} + \overline{2}u ,\overline{2} + \overline{2}u$

在第 1 题构造出的 9 元域中，计算：
- $-u$ , $2u$ , $u + (\overline{1} + u)$ , $(\overline{2} + u) + (\overline{1} + \overline{2}u)$ , $u(\overline{1} + u)$ , $(\overline{2} + u)(\overline{1} + \overline{2}u)$ 。

【解答】不难发现这个域的特征为三。
所以 $-u = 2u = \overline{2}u$
$u + (\overline{1} + u) = \overline{1} + \overline{2}u$
且满足 $u^2 + \overline{1} = \overline{0}$ 把握住这个关键点，就可以计算出上的所有值。

构造含 8 个元素的有限域，写出它的全部元素，并且计算：
- $-u$ , $u^2 + (\overline{1} + u^2)$ , $u^2(\overline{1} + u^2)$ , $(\overline{1} + u)(\overline{1} + u + u^2)$ 。
  【解答】我们知道 $8 = 2^3$
  所以我们考虑 $\mathbb{Z}_2$ 上的三次不可约多项式 $x^3+x+\overline{1}$
  考虑他上的元素形如 $c_0 + c_1 u+ c_2 u^2$
  其中 $u = x +(x^3 + x + \overline{1})$
  这是一个特征为 $2$ 的有限域。
  【注释】在计算结果时，我们只需要注意到 $u^3 + u + \overline{1} = \overline{0}$ 并且用它来简化计算结果即可。
设 $\tilde{R}$ 是域 $F$ 的一个扩环，且 $\tilde{R}$ 是整环， $p(x)$ 是 $F[x]$ 中的首项系数为 1 的不可约多项式， $\tilde{a}$ 是 $p(x)$ 在 $\tilde{R}$ 中的一个根。证明： $\tilde{a}$ 在 $F$ 上的极小多项式是 $p(x)$ 。

【解答】

证明 $t = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ 是一个代数数数，并且求 $t$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式。
【证明】只需要找到 $t$ 满足的多项式方程即可。
我们知道 $t = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ 于是 $\frac{1}{t} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
那么 $t + \frac{1}{t} = 2\sqrt{3}$ 平方后 $t^2 + \frac{1}{t^2}-10 = 0$
也就是 $t^4 - 10t^2 +1 =0$
这说明 $t$ 是一个代数数。
【补充】对这个多项式进行因式分解，考虑 $t^4-10t^2+1 = (t^2+1)^2 - (2\sqrt{3}t)^2 = (t^2 +1 +2\sqrt{3}t)(t^2 +1 -2\sqrt{3}) = [t - (\sqrt{2} -\sqrt{3})][t-(\sqrt{2}+\sqrt{3})][t+(\sqrt{2}-\sqrt{3})][t+(\sqrt{2}+ \sqrt{3})]$
根据唯一分解定理， $f(t)$ 在 $Q[x]$ 中没有一次因式，也没有二次因式，所以他在 $Q$ 上不可约，他就是极小多项式。
设 $t$ 为 $f(x) = x^3 - x + 1$ 的一个复根, 在 $\mathbb{Q}(t)$ 中, 计算 $(5t^2 + 3t - 1)(2t^2 - 2t + 6)$ ，并且求 $(3t^2 - t + 2)^{-1}$ 。

【解答】根据 $x^3 -x +1 =0$ 去计算即可。

$\xi_3 = e^{i\frac{2\pi}{3}}$ ，求 $\xi_3$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式，并且写出第 3 个分圆域 $\mathbb{Q}(\xi_3)$ 的元素的形式。
【解答】
这个极小多项式等于三阶分圆多项式：
$f_3(x) = (x -\xi_3)(x -\xi_3^2) = x^2 +x+1$
$\mathbb{Q}(\xi_3)$ 中的元素都可以表示成 $c_0 +c_1\xi_3$
$\xi_4 = e^{i\frac{\pi}{2}} = i$ 。求 $i$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式，并且写出第 4 个分圆域 $\mathbb{Q}(i)$ 的元素的形式。

【解答】 $f_4(x) = (x-i)(x-i^3) = x^2 +1$

$\xi_5 = e^{i\frac{2\pi}{5}}$ ，求 $\xi_5$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式，并且写出第 5 个分圆域 $\mathbb{Q}(\xi_5)$ 的元素的形式。
【解答】 $f_5(x) = x^4 +x^3 +x^2+x +1$
$\xi_6 = e^{i\frac{\pi}{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$ ，求 $\xi_6$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式，并且写出第 6 个分圆域 $\mathbb{Q}(\xi_6)$ 的元素的形式；计算 $(1 + \xi_6)(2 - 3\xi_6)$ ；求 $(2 + 3\xi_6)^{-1}$ 。
【解答】和 $6$ 互素的只有 $1$ 和 $5$ 因此它的本原 $6$ 次单位根只有两个，
计算它的极小多项式 $f_6(x) = (x -\xi_6)(x-\xi_6^5) = x^2 -x+1$

后续只需要根据 $\xi_6^2 -\xi_6+1 =0$ 来计算即可。

证明：对于任意整数 $m, n$ ，复数 $m + ni$ 是代数整数，称这种形式的代数整数为高斯整数。

【解析】，我们发现 $(m+ni) + (m-ni) =2m$ 并且有 $(m+ni)(m-ni) = m^2+n^2$
也就是说对于 $x = m+ni$ 我们有 $x(2m-x) = m^2+n^2$
化简后得到 $x^2 -2mx+m^2+n^2 = 0$
所以他是一个首1整系数多项式的根，从而他是一个代数整数。

2.4 有限域的构造，构造扩域的途径

2.4 有限域的构造，构造扩域的途径

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