高等数学——积分

1. 不定积分

1.1 定义

在区间 $I$ 上，函数 $f(x)$ 的带有任意常数项的原函数称为 $f(x)$ （或 $f(x)dx$ ）在区间 $I$ 上的不定积分，记作 $\int f(x)dx$ 其中记号 $\int$ 称为积分号， $f(x)$ 称为被积函数， $f(x)dx$ 称为被积表达式， $x$ 称为积分变量。

由定义可知：

如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数，那么 $F(x) + C$ 就是 $f(x)$ 的不定积分，即 $\int f(x) dx = F(x) + C$ 因而不定积分 $\int f(x) dx$ 可以表示 $f(x)$ 的任意一个原函数。
由于 $\int f(x) dx$ 是 $f(x)$ 的原函数，所以 $\frac{d}{dx}[\int f(x)dx] = f(x)$ 或 $d[\int f(x)dx] = f(x)dx$
又由于 $F(x)$ 是 $F'(x)$ 的原函数，所以 $\int F'(x)dx = F(x) + C$ 或记作 $\int d\,F(x) = F(x) + C$
由此可见，微分运算（以记号 $d$ 表示）与求不定积分的运算（简称积分运算，以记号 $\int$ 表示）是互逆的，当记号 $\int$ 与 $d$ 连在一起时，或者相互抵消，或者抵消后差一个常数。

定理连续函数一定有原函数。

image.png

1.2 基本积分表

$\int k\,dx = kx + C\,(k 是常数)$
$\int x^{\mu}\,dx = \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C\,(\mu \neq -1)$
$\int \frac {dx}{x} = ln|x| + C$
$\int \frac {dx}{1+x^{2}} = arctan\,x + C$
$\int \frac {dx}{\sqrt{1-x^{2}}} = arcsin\,x + C$
$\int cos\,x\,dx = sin\,x + C$
$\int sin\,x\,dx =- cos\,x + C$
$\int \frac {dx}{cos^{2}\,x} = \int sec^{2}\,x\,dx = tan\,x + C$
$\int \frac {dx}{sin^{2}\,x} = \int csc^{2}\,x\,dx = -cot\,x + C$
$\int sec\,x\,tan\,x\,dx = sec\,x + C$
$\int csc\,x\,cot\,x\,dx = -csc\,x + C$
$\int e^{x}\,dx = e^{x} + C$
$\int a^{x}\,dx = \frac {a^{x}}{ln\,a} + C$
$\int sh\,xdx = ch\,x +C$
$\int ch\,x dx = sh\,x + C$
$\int tan\,x\,dx =- ln|cos\,x| + C$
$\int cot\,x\,dx = ln|sin\,x| + C$
$\int sec\,x\,dx = ln|sec\,x+tan\,x| + C$
$\int csc\,x\,dx = ln|csc\,x-cot\,x| + C$
$\int \frac {dx}{a^{2}+x^{2}} = \frac{1}{a}arctan\,\frac{x}{a} + C$
$\int \frac {dx}{x^{2}-a^{2}} = \frac{1}{2a}ln\,|\frac{x-a}{x+a}| + C$
$\int \frac {dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} = arcsin\,\frac{x}{a} + C$
$\int \frac {dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} = ln(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}) + C$
$\int \frac {dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} = ln|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}| + C$

1.3 不定积分的性质

性质 1 设函数 $f(x)$ 及 $g(x)$ 的原函数存在，则 $\int [f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x) dx$

性质 2 设函数 $f(x)$ 的原函数存在， $k$ 为非零常数，则 $\int k\,f(x)dx = k\int f(x)dx$

1.4 积分法

第一类换元积分法 设 $f(u)$ 具有原函数， $u= \varphi (x)$ 可导，则有换元公式 $\int f[\varphi (x)]\varphi'(x)dx = [\int f(u)du]_{u=\varphi (x)}$

第二类换元积分法 设 $x=\psi (t)$ 是单调的、可导的函数，并且 $\psi' (t)\neq0$ ，又设 $f[\psi (t)]\psi' (t)$ 具有原函数，则有换元公式 $\int f(x)dx = [f[\psi(t)]\psi'(t)dt]_{t=\psi^{-1}(x)}$ 其中 $\psi^{-1}(x)$ 是 $x=\psi(t)$ 的反函数。

分部积分法 设函数 $u=u(x)$ 及 $v=v(x)$ 具有连续导数，那么，两个函数乘积的导数公式为 $(uv)'=u'v+uv'$ 移项得 $uv' = (uv)'=u'v$ 对这个等式两边求不定积分，得 $\int uv'dx = uv - \int u'vdx$ 此即为分部积分公式，简便写法为 $\int udv = uv - \int vdu$

2. 定积分

2.1 两个充分条件

定理 1 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。

定理 2 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。

2.2 定积分的性质

规定

当 $a=b$ 时， $\int_{a}^{b}f(x)dx=0$
当 $a>b$ 时， $\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$

性质 1 $\int_{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]dx = \int_{a}^{b}f(x)dx \pm \int_{a}^{b}g(x)$

性质 2 $\int_{a}^{b}kf(x)dx = k\int_{a}^{b}f(x)dx$

性质 3 设 $a<c<b$ ，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{b}f(x)dx$

性质 4 如果在区间 $[a, b]$ 上 $f(x)\equiv1$ ，则 $\int_{a}^{b}1dx = \int_{a}^{b}dx =b-a$

性质 5 如果在区间 $[a, b]$ 上 $f(x) \geqslant 0$ ，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx \geqslant 0\,\,(a<b)$

推论 1 如果在区间 $[a, b]$ 上 $f(x) \leqslant g(x)$ ，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx \leqslant \int_{a}^{b}g(x)dx\,\,(a<b)$

推论 2 $|\int_{a}^{b}f(x)dx| \leqslant \int_{a}^{b}|f(x)|dx\,\,(a<b)$

性质 6 设 $M$ 及 $m$ 分别是 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的最大值及最小值，则 $m(b-a) \leqslant \int_{a}^{b}f(x)dx \leqslant M(b-a)\,\,(a<b)$

性质 7 (积分中值定理) 如果 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则在 $[a, b]$ 上至少存在一个点 $\xi$ ，使下式成立： $\int_{a}^{b}f(x)dx = f(\xi)(b-a)\,\,(a\leqslant \xi \leqslant b)$

2.3 微积分基本公式

定理 1 如果 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则积分上限的函数 $\Phi(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt$ 在 $[a, b]$ 上可导，并且它的导数 $\Phi'(x) = \frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt = f(x)\,\,(a\leqslant x \leqslant b)$

定理 2 如果 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则函数 $\Phi(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt$ 就是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的一个原函数。

定理 3 如果 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的一个原函数，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a)$

定积分的换元法 假设 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $x=\varphi(t)$ 满足条件：
（1） $\varphi(\alpha)=a, \varphi(\beta)=b$ ;
（2） $\varphi(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上具有连续导数，且其值域 $R_{\varphi} = [a, b]$ ，则有 $\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta}f([\varphi(t)])\varphi'(t)dt$

定积分的分部积分法 $\int_{a}^{b}uv'dx = [uv]^{a}_{b} - \int_{a}^{b}vu'dx$ 即已经积出的部分可以先用上下限代入。

3. 反常积分

3.1 无穷限的反常积分

定义 1 设 $f(x)$ 在区间 $[a, +\infty )$ 上连续，取 $t>a$ ，如果极限 $\underset{t\rightarrow +\infty }{lim} \int_{a}^{t}f(x)dx$ 存在，则称此极限为函数 $f(x)$ 在无穷区间 $[a, +\infty )$ 上的反常积分，记作 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ ，即 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx = \underset{t\rightarrow +\infty }{lim} \int_{a}^{t}f(x)dx$
这时也称反常积分 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 收敛，如果上述极限不存在，则函数 $f(x)$ 在无穷区间 $[a, +\infty )$ 上的反常积分 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 就没有意义，习惯上称为反常积分 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 发散。

类似的，设 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, b]$ 上连续，取 $t<b$ ，如果极限 $\underset{t\rightarrow -\infty }{lim} \int_{t}^{b}f(x)dx$ 存在，则称此极限为函数 $f(x)$ 在无穷区间 $(-\infty, b]$ 上的反常积分，记作 $\int_{-\infty}^{b}f(x)dx$ ，即 $\int_{-\infty}^{b}f(x)dx = \underset{t\rightarrow -\infty }{lim} \int_{t}^{b}f(x)dx$
这时也称反常积分 $\int_{-\infty}^{b}f(x)dx$ 收敛，如果上述极限不存在，则称反常积分 $\int_{-\infty}^{b}f(x)dx$ 发散。

设 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, +\infty)$ 上连续，如果反常积分 $\int_{-\infty}^{0}f(x)dx$ 和 $\int_{0}^{+\infty}f(x)dx$ 都收敛，则称上述两反常积分之和为函数 $f(x)$ 在无穷区间 $(-\infty, +\infty$ 上的反常积分，记作 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ ，即 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{0}f(x)dx + \int_{0}^{+\infty}f(x)dx = \underset{t\rightarrow -\infty }{lim} \int_{t}^{0}f(x)dx + \underset{t\rightarrow +\infty }{lim} \int_{0}^{t}f(x)dx$
这时也称反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ 收敛，否则，称反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ 发散。

3.2 无界函数的反常积分

如果函数 $f(x)$ 在 $a$ 的任一领域内都无界，那么点 $a$ 称为函数 $f(x)$ 的瑕点（也称为无界间断点），无界函数的反常积分又称为瑕积分。

定义 2 设函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b]$ 上连续，点 $a$ 为 $f(x)$ 的瑕点，取 $t > a$ ，如果极限 $\underset{t\rightarrow a^{+} }{lim} \int_{t}^{b}f(x)dx$ 存在，则称此极限为函数 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上的反常积分，记作 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ ，即 $\int_{a}^{b}f(x)dx= \underset{t\rightarrow a^{+} }{lim} \int_{t}^{b}f(x)dx$ 这时也称反常积分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 收敛，如果上述极限不存在，则称反常积分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 发散。

类似的，设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b)$ 上连续，点 $b$ 为 $f(x)$ 的瑕点，取 $t < b$ ，如果极限 $\underset{t\rightarrow b^{-} }{lim} \int_{a}^{t}f(x)dx$ 存在，则定义 $\int_{a}^{b}f(x)dx= \underset{t\rightarrow b^{-} }{lim} \int_{a}^{t}f(x)dx$ 否则，就称反常积分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 发散。

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上除 $c(a<c<b)$ 点外连续，点 $c$ 为 $f(x)$ 的瑕点，如果两个反常积分 $\int_{a}^{c}f(x)dx$ 和 $\int_{c}^{b}f(x)dx$ 都收敛，则定义 $\int_{a}^{b}f(x)dx= \int_{a}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{b}f(x)dx = \underset{t\rightarrow c^{-} }{lim} \int_{a}^{t}f(x)dx + \underset{t\rightarrow c^{+} }{lim} \int_{t}^{b}f(x)dx$ 否则，就称反常积分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 发散。

4. 微分方程

3.1 定义

一般的，凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。

一般的， $n$ 阶微分方程的形式是 $F(x, y, y', \cdots, y^{(n)}) = 0$

3.2 微分方程的解法

3.2.1 可分离变量的微分方程

一般的，如果一个一阶微分方程能写成 $g(y)dy = f(x)dx \tag{1}$ 的形式，即能把微分方程写成一段只包含 $y$ 的函数和 $dy$ ，另一端只含 $x$ 的函数和 $dx$ ，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。

对 $(1)$ 式两端积分 $\int g(y)dy = \int f(x)dx$ 设 $G(y)$ 即 $F(x)$ 依次为 $g(y)$ 和 $f(x)$ 的原函数，于是有 $G(y) = F(x) + C \tag{2}$ $(2)$ 式即为方程 $(1)$ 的隐式解，也称为微分方程 $(1)$ 的隐式通解。

3.2.2 齐次方程

如果一阶微分方程可化为 $\frac {dy}{dx} = \varphi(\frac{y}{x})$ 的形式，那么就称这方程为齐次方程。

在齐次方程中，引入未知函数 $u=\frac{y}{x}$ （其中 $\frac{dy}{dx} = u+ x\frac{du}{dx}$ ），就可将它化为可分离变量的方程。

3.2.3 线性方程

定义 1 方程 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \tag{3}$ 叫做一阶线性微分方程。如果 $Q(x)\equiv 0$ 则方程 $(3)$ 称为齐次的，否则称为非齐次的。

此类方程的解为：其对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。
由 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = 0 \tag{4}$
分离变量后求解得到： $y = Ce^{-\int P(x)dx}\,\,(C = \pm e^{c_1})$
再用常数变易法来求解非齐次方程 $(3)$ 的特解：将 $(4)$ 的通解中的常数 $C$ 替换为 $x$ 的未知函数 $u(x)$ ，即做变换 $y = ue^{-\int P(x)dx} \tag{5}$
于是 $\frac{dy}{dx} = u'e^{-\int P(x)dx} - uP(x)e^{-\int P(x)dx} \tag{6}$
将 $(5)$ 和 $(6)$ 代入 $(3)$ 进行求解，得到
$u = \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C$
即 $y = e^{-\int P(x)dx} (\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C)$ 为方程 $(3)$ 的特解。
所以方程 $(3)$ 的解为： $y = Ce^{-\int P(x)dx} + e^{-\int P(x)dx} (\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C)$

定义 2 一阶线性方程，形如
$y' + p(x)y = q(x)$
解法：两边同乘积分因子 $e^{\int p(x)dx}$ 得
$e^{\int p(x)dx}(y' + p(x)y) = e^{\int p(x)dx}q(x)$
两边积分得
$e^{\int p(x)dx}y = \int e^{\int p(x)dx}q(x)dx + C$
于是
$y = e^{- \int p(x)dx}[\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx + C]$

3.3 函数的线性相关性

对于两个函数构成的函数组，如果两函数的比为常数，则它们是线性相关的，否则就线性无关。

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 229,908评论 6赞 541
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 99,324评论 3赞 429
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 178,018评论 0赞 383
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 63,675评论 1赞 317
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 72,417评论 6赞 412
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 55,783评论 1赞 329
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 43,779评论 3赞 446
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 42,960评论 0赞 290
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 49,522评论 1赞 335
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 41,267评论 3赞 358
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 43,471评论 1赞 374
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 39,009评论 5赞 363
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 44,698评论 3赞 348
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 35,099评论 0赞 28
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 36,386评论 1赞 294
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 52,204评论 3赞 398
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 48,436评论 2赞 378