线性方程组（四）- 矩阵方程

小结

矩阵方程的定义
矩阵方程的求解
矩阵方程、向量方程和线性方程组拥有相同的解集
$\boldsymbol{Ax}$ 的计算、行-向量规则和性质

$\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}$

若 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，它的各列为 $\boldsymbol{a_1,\cdots,a_n}$ 。若 $\boldsymbol{x}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的向量，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{x}$ 的积（记为 $\boldsymbol{Ax}$ ）就是 $\boldsymbol{A}$ 的各列以 $\boldsymbol{x}$ 中对应元素为权的线性组合，即
$\boldsymbol{Ax} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1} & \cdots & \boldsymbol{a_n} \\\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{bmatrix} = x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} + \cdots + x_n\boldsymbol{a_n}$
注意 $\boldsymbol{Ax}$ 仅当 $\boldsymbol{A}$ 的列数等于 $\boldsymbol{x}$ 中的元素个数时才有定义。

对 $\mathbb{R}^{m}$ 中的 $\boldsymbol{v_1, v_2, v_3}$ ，把线性组合 $3\boldsymbol{v_1} - 5\boldsymbol{v_2} + 7\boldsymbol{v_3}$ 表示为矩阵乘向量的形式。
解：把 $\boldsymbol{v_1, v_2, v_3}$ 排列成矩阵 $\boldsymbol{A}$ ，把数3，-5，7排列成向量 $\boldsymbol{x}$ ，即
$3\boldsymbol{v_1} - 5\boldsymbol{v_2} + 7\boldsymbol{v_3} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{v_1} & \boldsymbol{v_2} & \boldsymbol{v_3} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ -5 \\ 7 \\ \end{bmatrix} = \boldsymbol{Ax}$

方程有形式 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}$ ，我们称这样的方程为矩阵方程。由定义 $\boldsymbol{Ax} = x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} + \cdots + x_n\boldsymbol{a_n}$ 可知，任何向量方程都可以写成等价的形式为 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}$ 的矩阵方程。而向量方程 $x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} + \cdots + x_n\boldsymbol{a_n} = \boldsymbol{b}$ 又和增广矩阵为 $\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1} & \boldsymbol{a_2} & \cdots & \boldsymbol{a_n} & \boldsymbol{b} \end{bmatrix}$ 的线性方程有相同的解集。

若 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，它的各列为 $\boldsymbol{a_1,\cdots,a_n}$ ，而 $\boldsymbol{b}$ 属于 $\mathbb{R}^{m}$ ，则矩阵方程与向量方程 $x_1\boldsymbol{a_1} + x_2\boldsymbol{a_2} + \cdots + x_n\boldsymbol{a_n} = \boldsymbol{b}$ 由相同的解集。它又与增广矩阵为 $\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1} & \boldsymbol{a_2} & \cdots & \boldsymbol{a_n} & \boldsymbol{b} \end{bmatrix}$ 的线性方程组有相同的解集。

我们现在可将线性方程组用三种不同但彼此等价的观点来研究：作为矩阵方程、作为向量方程或作为线性方程组。任何情况下，矩阵方程、向量方程以及线性方程组都用相同方法来解---用行化简算法来化简增广矩阵。

解的存在性

方程 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}$ 有解当且仅当 $\boldsymbol{b}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的各列的线性组合。

设 $\boldsymbol{Ax}=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ -4 & 2 & -6 \\ -3 & -2 & -7 \\ \end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{bmatrix}$ 。方程 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}$ 是否对一切可能的 $b_1, b_2, b_3$ 有解？
解：把 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}$ 的增广矩阵进行行化简：
$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & b_1\\ -4 & 2 & -6 & b_2\\ -3 & -2 & -7 & b_3 \\ \end{bmatrix}$ ~ $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & b_1\\ 0 & 14 & 10 & b_2 + 4b_1\\ 0 & 7 & 5 & b_3 + 3b_1 \end{bmatrix}$ ~ $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & b_1\\ 0 & 14 & 10 & b_2 + 4b_1\\ 0 & 0 & 0 & {b_3 + 3b_1 - \frac{1}{2}(b_2 + 4b_1)} \end{bmatrix}$
第4列的第3个元素为 $b_1 - \frac{1}{2}b_2 + b_3$ 。故方程 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}$ 并不是对一切的 $\boldsymbol{b}$ 都相容，因为 $b_1 - \frac{1}{2}b_2 + b_3$ 可能不为零。

上述方程 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}$ 并非对所有的 $\boldsymbol{b}$ 都相容，这是因为 $\boldsymbol{A}$ 的阶梯形含有零行。假如 $\boldsymbol{A}$ 在所有三行都有主元，这时增广矩阵的阶梯形不可能产生如 $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ 的行。

当我们说“ $\boldsymbol{A}$ 的列生成 $\mathbb{R}^{m}$ ”时，意思是说 $\mathbb{R}^{m}$ 中的每个向量 $\boldsymbol{b}$ 都是 $\boldsymbol{A}$ 的列的线性组合。一般地， $\mathbb{R}^{m}$ 中向量集{ $\boldsymbol{v_1,\cdots,v_p}$ }生成 $\mathbb{R}^{m}$ 的意思是说， $\mathbb{R}^{m}$ 中的每个向量都是 $\boldsymbol{v_1,\cdots,v_p}$ 的线性组合，即 $\boldsymbol{Span\{v_1,\cdots,v_p\}}=\mathbb{R}^{m}$ 。

设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，下列命题是逻辑上等价的，也就说，对某个\boldsymbol{A}，它们都成立或者都不成立。

对 $\mathbb{R}^{m}$ 中每个 $\boldsymbol{b}$ ，方程 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}$ 有解。
$\mathbb{R}^{m}$ 中每个 $\boldsymbol{b}$ 都是 $\boldsymbol{A}$ 的列的一个线性组合。
$\boldsymbol{A}$ 的各列生成 $\mathbb{R}^{m}$ 。
$\boldsymbol{A}$ 在每一行都有一个主元位置。
注意：这里说的矩阵是系统矩阵，而非增广矩阵。

$\boldsymbol{Ax}$ 的计算

计算 $\boldsymbol{Ax}$ ，其中 $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ -1 & 5 & -3 \\ 6 & -2 & 8 \\ \end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix}$
解：由定义，
$\begin{equation}\begin{aligned} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ -1 & 5 & -3 \\ 6 & -2 & 8 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} &= x_1\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 6 \\ \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ -2 \\ \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} 4 \\ -3 \\ 8 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2x_1 \\ -x_1 \\ 6x_1 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3x_2 \\ 5x_2 \\ -2x_2 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4x_3 \\ -3x_3 \\ 8x_3 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 \\ -x_1 + 5x_2 - 3x_3 \\ 6x_1 - 2x_3 + 8x_3 \\ \end{bmatrix} \end{aligned}\end{equation}$

矩阵 $\boldsymbol{Ax}$ 的第一个元素是 $\boldsymbol{A}$ 的第一行与 $\boldsymbol{x}$ 相应元素乘积之和（有时称为点积）。

计算 $\boldsymbol{Ax}$ 的行-向量规则
若乘积 $\boldsymbol{Ax}$ 有定义，则 $\boldsymbol{Ax}$ 中的第 $i$ 个元素是 $\boldsymbol{Ax}$ 的第 $i$ 行元素与 $\boldsymbol{x}$ 的相应元素乘积之和。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -5 & 3 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ 7 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times 4 + 2 \times 3 + (-1) \times 7 \\ 0 \times 4 + (-5) \times 3 + 3 \times 7 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r \\ s \\ t \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times r + 0 \times s + 0 \times t \\ 0 \times r + 1 \times s + 0 \times t \\ 0 \times r + 0 \times s + 1 \times t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r \\ s \\ t \\ \end{bmatrix}$

若矩阵的主对角线上元素为1，其它位置上元素为0，这个矩阵称为单位矩阵，记为 $\boldsymbol{I}$ 。有 $n \times n$ 单位矩阵，记为 $\boldsymbol{I}_{n}$ 。对任意 $\mathbb{R}^{n}$ 中的 $\boldsymbol{x}$ ， $\boldsymbol{I}_{n}\boldsymbol{x}$ = $\boldsymbol{x}$ 。

矩阵-向量积 $\boldsymbol{Ax}$ 的性质

若 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{u}$ 和 $\boldsymbol{v}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中向量， $c$ 是标量，则

$\boldsymbol{A}$ ( $\boldsymbol{u}$ + $\boldsymbol{v}$ ) = $\boldsymbol{Au} + \boldsymbol{Av}$
$\boldsymbol{A}(c\boldsymbol{u}) = c(\boldsymbol{Au})$

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